Множества, подпространства.

[Andrei94]

Определите -- являются ли следующие множества подпространствами $\mathbb{R}^4$

(это я перевел с испанского, в оригинале звучит так: Estudiar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^4$.)

1) $A = \{(x, y, z, t) : 2x - 7z=0 \}$

2) $D = \{(x, y, z, t) : 2x + y = 0; 6z - 6t=0\}$

3) $E = \{(x, y, z, t) : t > 0\}$

4) $F = \{(x, y, z, t) : x = y, z = 2t, x + y = 0\}$

5) $G =\{(x, y, z, t) : xy = 0\}$

6) $H = {(a, a, a, a) : a\in \mathbb{R}\}$

7) $I = \{(a, b, a, b) : a,b\in \mathbb{R}\}$

8) $J = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 - x_2 = 4x_3\}$


В пункте 1) я думаю, что можно взять $z=C$

Тогда $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\\ t\\ \end{pmatrix}=C\begin{pmatrix} 3,5 \\ 0 \\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\subset \mathbb{R}^4$

В пункте 2) аналогично можно решить систему уравнений методом Гаусса, там тоже будет $\subset \mathbb{R}^4$

В 4) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\\ t\\ \end{pmatrix}=C\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix}\subset \mathbb{R}^4$

В 6) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\\ t\\ \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\subset \mathbb{R}^4$

В 8) аналогично первым двум.

Как делать остальные пункты -- пока что нет идей. Можете подсказать, пожалуйста! Правильно ли сделаны эти пункты. Пока что не могу понять как может получится не подпростраство $\mathbb{R}^4$

[Otta]

Тут не надо никаких идей. Тут надо тупо юзать определение подпространства.

[Andrei94]

Спасибо!

Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в $V$ действиям сложения и умножения на скаляр. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы:
для всяких векторов $x,y\in K$, вектор $(\alpha x+\beta y)\in K$, при любых $\alpha,\beta\in F$.

-- 19.06.2015, 15:04 --

Я вижу теперь ответ на пункт $3$. Там не всегда линейная комбинация будет принадлежать этому подпространству.

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\\ t\\ \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}\subset \mathbb{R}^4, a>0$

Если взять $\alpha\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\\ t\\ \end{pmatrix}=\alpha \cdot a\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$ при $\alpha<0$, то не будет содержаться в том же множестве, потому не является подпространством. Верно?

А остальные вроде как подпространства, для них все выполняется.

[Otta]

Andrei94 в сообщении #1028882 писал(а):

Чтобы подмножество было подпространством,

Вы забыли указать подмножество чего. Это принципиально.

Andrei94 в сообщении #1028882 писал(а):

Я вижу теперь ответ на пункт $3$. Там не всегда линейная комбинация будет принадлежать этому подпространству.

Там вообще не нужны никакие линейные комбинациии, вполне достаточно того, что ноль там не лежит.

Про то что ноль обязан принадлежать линейному (под)пространству, важно помнить независимо от определения. Ну а как это сделать по определению, я думаю, Вы сами догадаетесь.

Andrei94 в сообщении #1028882 писал(а):

Верно?

Верно, но перебор. Достаточно заметить, что $e=(0,0,0,1)\in E$, а $0\cdot e\notin E$.

Не ищите в этих задачах чего-то экстраординарного, они все примерно такого уровня сложности.

-- 19.06.2015, 17:15 --

Andrei94 в сообщении #1028882 писал(а):

А остальные вроде как подпространства, для них все выполняется.

Нет, не все. И даже если подпространства - тоже надо доказывать. То, что Вы пишете в стартовом посте, не имеет никакого отношения к решению задачи.