2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТАУ - помогите разобраться в выводе формулы
Сообщение19.06.2015, 13:26 


19/05/15
12
Добрый день!
Пытаюсь самостоятельно изучать ТАУ - в частности, уравнения состояния системы. Обнаружил более-менее понятную книгу по адресу:
https://en.wikibooks.org/wiki/Control_S ... _Solutions
Там приводится решение уравнения состояния системы с ненулевым входом:
$x'(t) = Ax(t)+Bu(t)$
Это уравнение домножается на $e^{-At}$ (с переносом $Ax(t)$ влево) - и получается так:
$e^{-At}x'(t) - e^{-At}Ax(t) = e^{-At}Bu(t)$
А потом то, что слева, преобразуется по формуле производной от произведения функций:
$\frac{d(e^{-At}x(t))}{dt} = e^{-At}Bu(t)$
Далее это уравнение решается со следующими пояснениями:
Цитата:
Now we can integrate both sides, from the initial time ($t_0$) to the current time ($t$), using a dummy variable $\tau$, we will get closer to our result. Finally, if we premultiply by $e^{At}$, we get our final result:

"Теперь мы можем интегрировать обе стороны, от начального времени($t_0$) до текущего времени($t$), используя вспомогательную переменную $\tau$, мы подойдём ближе к нашему результату. В конце концов, если мы предварительно умножим на $e^{At}$, то мы получим наш окончательный результат:
$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$
Так вот я и не могу понять, как интегрируется и решается это уравнение. Может быть, кому-нибудь будет несложно восстановить промежуточные шаги - или ткнуть пальцем, где этот процесс разжёван и в рот положен, чтобы осталось только проглотить?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТАУ - помогите разобраться в выводе формулы
Сообщение19.06.2015, 13:57 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
$$\frac{d(e^{-At}x(t))}{dt} = e^{-At}Bu(t)$$$$\int\limits_{t_0}^{t}\frac{d(e^{-At'}x(t'))}{dt'}dt' = \int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$$$e^{-At}x(t)-e^{-At_0}x(t_0)=\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$$$x(t)=...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ТАУ - помогите разобраться в выводе формулы
Сообщение19.06.2015, 14:29 


19/05/15
12
Спасибо за внимание!
Итак, у меня есть вот это:
$$e^{-At}x(t)-e^{-At_0}x(t_0)=\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$
Дальше я переношу $t_0$ вправо - и получаю вот это:
$$e^{-At}x(t)=e^{-At_0}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$
А дальше - мне надо разделить обе части на $e^{-At}$ - и я получу вот это:
$$x(t)=\frac{e^{-At_0}}{e^{-At}}x(t_0)+\frac{1}{e^{-At}}\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$
Дальше можно преобразовать и заменить $t'$ на $\tau$:
$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t}\frac{e^{-A\tau}}{e^{-At}}Bu(\tau)d\tau$$
Ну и, собственно, последний штрих - заменяю дробь на вычитание степеней:
$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$$
Собственно, я хотел спросить кое-что ещё - но разобрался в процессе формулирования вопроса :-)
А все эти выкладки - пусть будут тут, для законченности, что ли...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group