ДУ с разделяющимися переменными

[Мироника]

Задача:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде $\varphi (x,y)=C$). $(x^2-1)y'+2xy^2=0, y(0)=1$
Я разделяю переменные и приходится делить на $ y^2(x^2-1)$ поэтому накладываю условие $y \neq 0, x \neq \pm 1$
Общий интеграл получаю такой $\ln \left| x^2-1 \right| - \frac {1} {y} =C$
Меня интересует наличие в условии $y(0)=1$
Как ответ записать? $\ln \left| x^2-1 \right| - \frac {1} {y} =C$ и $y(0)=1$?

[Brukvalub]

Нет, нужно найти С из нач. условия.

[Мироника]

Brukvalub писал(а):

Нет, нужно найти С из нач. условия.

Получится $C=-1$. Но тогда ведь $\ln \left| x^2-1 \right| - \frac {1} {y} =-1$ будет уже частным решением, а не общим?

И как быть с условием $y \neq 0, x \neq \pm 1$?
Ведь $y(\pm 1)=0$ удовлетворяет исходному уравнению

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде $\varphi (x,y)=C$). $(x^2-1)y'+2xy^2=0, y(0)=1$

Исходя из текста, нужно найти общий интеграл, а сразу после текста написана задача Коши, которой удовлетворяет частное решение. Такое условие - противоречиво.

[Мироника]

А под общим интегралом понимается только $\ln \left| x^2-1 \right| - \frac {1} {y} =C$? $y(\pm 1)=0$ добавлять не надо?

[Someone]

Мироника писал(а):

$y(\pm 1)=0$ добавлять не надо?

А откуда это взялось? Функция $y=0$ является решением на всей числовой оси, но причём тут $\pm 1$?

[Мироника]

Someone писал(а):

Мироника писал(а):

$y(\pm 1)=0$ добавлять не надо?

А откуда это взялось? Функция $y=0$ является решением на всей числовой оси, но причём тут $\pm 1$?

ну да, Вы правы. $y=0$ решение при любых $x$. Но в общем интеграле это решение теряется...

[Someone]

Мироника писал(а):

$y=0$ решение при любых $x$. Но в общем интеграле это решение теряется...

Бывает. Перепишите общее решение в виде $\frac y{y\ln|x^2-1|-1}=D$ (где $D=\frac 1C$), и Вы получите это решение при $D=0$. Зато пропадёт решение $y=\frac 1{\ln|x^2-1|}$, которое получалось при $C=0$.