Задачка по электростатике

[Евгеша]

Помогите решить пожалуйста :

Объёмная плотность заряда равномерно заряженного шара радиусом R = 10 cм, изготовленного из диэлектрика с относительной проницаемостью $\varepsilon = 2$, равна $\rho = 10^{-8}$ Кл/см$^{3}$. Найти потенциалы электростатического поля $\phi_0$ в центре шара и $\phi_1$ на расстоянии r = 9 см от центра шара.

[Freude]

Найти напряженность поля вне шара можно c помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Надо окружить шар некоторой поверхностью (наиболее удобно сферической) и искать поток вектора электрического поля через эту поверхность. Поток, согласно т. Остроградского-Гаусса, равен числу зарядов, заключенных внутри поверхности. Из равенства потока числу зарядов выразите напряженноcть поля. Из напряженности найдете потенциал. Потенциал в центре сферы равен нулю, поскольку поле там тоже равно нулю по соображениям симметрии.

[Sergiy_psm]

Есть два способа найти потенциал:

1. Восспользоватся теоремой Остроградского-Гаусса как предлагает Freude и восспользоватся связью напряженности и потенциала $\vec E = - \nabla \phi $.

Freude писал(а):

Найти напряженность поля вне шара можно c помощью теоремы Остроградского-Гаусса.

С помощью этой теоремы можно найти и напряженность поля внутри шара, в условии сказанно на растоянии $r=9 \text{см}$, а радиус шара $R=10 \text{см}$.

2. Восспользоватся уравнением Пуассона: $\nabla ^2 \phi = - \frac{\rho }{{\varepsilon \varepsilon _0 }}$, где $\nabla ^2 $ - лапласиан, который лучше записать в сферической системе координат.

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Забыл сообщить: два спобобы - суть один, разница лишь техническая.

[Евгеша]

Как найти потенциал в центре шара?

В ответе:

$\phi_0=\frac{\rho}{6\varepsilon_0\varepsilon}R^2(2\varepsilon+1)$

[Sergiy_psm]

Евгеша писал(а):

Как найти потенциал в центре шара?

Я же указал два способа. Принтегрируйте, например, уравнение Пуассона. Что у вас получится?

[Евгеша]

Ну у меня получилось $\phi(r)=-\frac{\rho r^2}{6\varepsilon_0\varepsilon}$

[Sergiy_psm]

Неверно, конечно же. Нужно учесть граничные условия. Запишите пока общее решение уравнения.

Добавлено спустя 6 минут 9 секунд:

И проанализируем это общее решение

[Евгеша]

1м способом:

$\overrightarrow{E}=\frac{\rho r}{3\varepsilon\varepsilon_0}$
$\overrightarrow{E}=-\nabla\phi$
$\nabla\phi=\frac{d\phi}{dr}$
$d\phi=-\overrightarrow{E}dr$
$\phi=\int d\phi=-\int \overrightarrow{E}dr=-\int \frac{\rho r}{3\varepsilon\varepsilon_0}dr=-\frac{\rho r^2}{6\varepsilon\varepsilon_0}$

[Sergiy_psm]

ИЗВИНИТЕ. Правильно поле нашли!!!
Неверно исспользовали связь напряженности и потенциала.

[Евгеша]

А как её использовать?

[Sergiy_psm]

Вы забыли прибавить константу интегрирования, а она находится из граничных условий

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

Вспомните, что $\phi (R) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 R}}$

[Евгеша]

Всё получилось!
Спасибо огромнейшее!