Вычисление Интегралов по замкнутому контуру

[Bacon]

При вычислении интегралов вида $\oint\limits_{C}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\,dz $, где функция $\varphi(z)$ аналитическая в $D$, а у многочлена $\psi(z)$, есть нуль на контуре. Как поступать? Обычно же рассматривают сколько и какой кратности нули принадлежат области, определяемой контуром. А тут получается нуль не принадлежит области, но и вне его не находится. Что в таком случае нужно делать? Никак не могу найти ответ, помогите пожалуйста.

[Otta]

Где возник такой интеграл? при решении какой задачи?

[Bacon]

Otta
$\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+16}\,dz$
$C : |z-i|=3$

[Otta]

Это явный косяк составителя.
Такие интегралы расходятся. Все, что можно сделать дополнительно - посмотреть на сходимость в смысле главного значения и вычислить главное значение интеграла, если она есть. Тут есть.

Если требуется это, то в задании принято честно указывать $\mathrm{v.p.}\oint\limits_{C}\frac{dz}{z^{2}+16}\,dz$

[Bacon]

Otta
Спасибо ! В задании сказано, что нужно просто вычислить интеграл. Получается, просто указать, что он расходится?

[Otta]

Да. По-хорошему, нужно обосновать, конечно.
Хотя я уверена, что это опечатка.

[Slow]

(Оффтоп)

Otta
В нашем курсе ТФКП считалось по умолчанию что интегралы в случае чего считают в смысле главного значения, поэтому $v.p.$ опускалось. Так что может быть это не опечатка, а просто заранее это где то было оговорено

[Otta]

Slow
Ну этого я не могу знать, конечно, какие договоренности были в курсе Bacon. Если было так, как у Вас, то разумеется, надо считать в смысле главного значения.
Это уж пусть он сам ищет. :)

[Bacon]

Otta
Нет, договоренностей не было. А как это можно обосновать ? От какого факта оттолкнуться? Интегральные суммы рассмотреть?

[Otta]

Bacon в сообщении #1027865 писал(а):

Интегральные суммы рассмотреть?

Боже упаси. Интегральные суммы для несобственного интеграла...

Bacon в сообщении #1027865 писал(а):

А как это можно обосновать ?

Для такой простой функции и контура проще всего явно параметризовать контур и свести к интегралу по отрезку, для которого мы сходимость-расходимость смотреть умеем.

[ewert]

Никаких косяков, это стандартная задача: простой полюс на гладком участке контура. На этот счёт в курсе обязана была быть соответствующая теорема.

А без неё как считать, скажем, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}x\,dx$, скажите на милость?... (если без извращений, конечно)

[Otta]

(Оффтоп)

ewert Прикиньте, я даже умею устно считать ответ.
Но что-то говорит мне, что если человек задает вопрос так, как он его задал, про точку на границе в курсе он не слышал даже рядом. Тем более, про простой полюс там же. На самом деле, это далеко не в каждом курсе рассказывают, при нынешнем состоянии дел.

Абсолютно ни на чем не настаиваю, спорить не собираюсь, но ответ на вопрос, насколько задача стандартна для ТС, зависит от того, что он должен был услышать на лекциях. Могу побожиться, что в нашей конуре даже математикам этого результата не рассказывал никто как минимум на протяжении 25 лет. У меня была необходимость следить за тем, что рассказывали.

Что касается интеграла Дирихле, то мне он обычно был нужен гораздо раньше, чем случалась ТФКП, поэтому я извращалась, да.

Не все так однозначно, однако.

[ex-math]

Обойти полюс по малой полуокружности -- извращение?
По-моему, извращение -- эта как раз запоминать всевозможные леммы о полувычетах и Жордана.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1027895 писал(а):

На самом деле, это далеко не в каждом курсе рассказывают, при нынешнем состоянии дел.

Я вот в своей жизни читал ТФКП раз пять или шесть, наверное. И ни разу, даже в укороченных до невозможности вариантах курса, это обобщение теоремы о вычетах не опускал. Ибо оно идейно. И к тому же очень просто (не обязательно же разжёвывать доказательство до нюансов -- достаточно намекнуть).

Otta в сообщении #1027895 писал(а):

зависит от того, что он должен был услышать на лекциях.

"Должен был" -- ещё вовсе не означает, что услышал. Он мог лекции просто прослушать. Да и ассистент запросто мог бездумно подсунуть какой-нибудь набор задач из стандартного задачника, совершенно не вникая ни в лекционный курс, ни в то, что он сам на занятиях разжёвывал, а что нет.

-- Вт июн 16, 2015 21:06:59 --

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1027896 писал(а):

Обойти полюс по малой полуокружности -- извращение?
По-моему, извращение -- эта как раз запоминать всевозможные леммы о полувычетах и Жордана.

Угу. А вот теперь представьте себе, что Вы выходите из дома. И нужно Вам спуститься по лестнице. Что Вы делаете? -- правильно, берётесь за калькулятор. И считаете: вот сейчас ногу надо сдвинуть на тридцать сантиметров вперёд и на пятнадцать вниз, затем вторую тоже просчитаем... И -- благополучно спускаетесь!

[ex-math]

(Оффтоп)

Практика показывает, что студенты, применяя эти леммы, напрочь не понимают, что на самом деле происходит. А если заставить их считать честно, то понимание приходит. И если Жордан еще оправдан (там возни побольше), то все эти полувычеты делаются честно ненамного дольше, чем ссылкой на лемму.