разные ответы?

[ecartman]

Пытаюсь сравнить две варианта ответа к одной и той же задаче. Искомая функция $p(x,t)$, $x,t\ge0$, обладает следующими свойствами: 1. $p(x,t)$ является как минимум дважды дифф. по $x$ и как минимум единажды по $t$; 2. $p(x,0+)=\delta(x)$, где $\delta(x)$ - Дельта функция; 3. существует $f(x)=\lim_{t\to\infty} p(x,t)$; и 4. $\int_{0}^{\infty} p(x,t)\,dx=1$ для всех $t\ge0$, в частности $\int_{0}^\infty f(x)\,dx=1$.

Один вариант ответа имеет вид:

$$ p_1(x,t) = f(x)+\int_{0}^{\infty} e^{-t (1+y^2)} \frac{g(y,t)}{1+y^2}\,dy, $$

где $f(x)=\lim_{t\to+\infty}p(x,t)$. Другой вариант ответа имеет вид:

$$ p_2(x,t) = \int_{0}^{\infty} e^{-t (1+y^2)} \frac{g(y,t)}{1+y^2}\,dy. $$

Т.е. получается, что

$$ \partial_t p_1(x,t) = \partial_t p_2(x,t) = -\int_{0}^{\infty} e^{-t (1+y^2)}g(y,t)\,dy, $$

и тогда, например, чтобы получить $p_1(x,t)$ можно поступить след. образом:

$$ p_1(x,t) = \int_{t}^{\infty} \partial_t p_1(x,s)\,ds, $$

и использовать тот факт, что $f(x)=\lim_{t\to+\infty}p(x,t)$ (который устанавливается из других соображений).

Однако, для второго варианта ответа имеем:

$$ p_2(x,t) = \int_{0}^{t} \partial_t p_2(x,s)\,ds, $$

и тут возникает проблема с начальным условием $p(x,0+)=\delta(x)$. Верно ли что $p_1(x,t)$ и $p_2(x,t)$ (в смысле обобщенных функций)?

Спасибо.