Эффективность оценки

[MestnyBomzh]

Требуется доказать, что частота события А является эффективной оценкой вероятности события: $P(A)$
Как я понял задание: требуется доказать, что оценка $\hat{\theta} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i}{n}$ является эффективной оценкой параметра $\theta$, где $\theta=P(A) $. Причем $P(A) = \theta$, а $P(\bar{A}) = 1-\theta$, то есть каждый $x_i$ распределен по Бернулли с параметром $\theta$.
Тогда чтобы оценка была Эффективной:
1) $E \hat{\theta} = \theta$: $E \hat{\theta} = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E x_i = \theta$ верно
2) Должно быть выполнено: $D \hat{\theta} = \frac{1}{n I_1(\theta)}$.
Проверяем: $D \hat{\theta} = \frac{1}{n} \cdot \theta (1-\theta)$
Теперь ищем информацию Фишера по формуле:

$$I_1 (\theta) = E ((\frac{\partial \ln{P( \xi=x_i)}}{\partial \theta})^2)$$

Подставив функцию вероятности и продифференциировав по $\theta$ получим:
$E(\frac{x_i}{\theta} + \frac{x_i-n}{1-\theta})^2 = \frac{1}{\theta^2 \cdot (1-\theta)^2} E((x_i-n\theta)^2)=$
$= \frac{1}{\theta^2 \cdot (1-\theta)^2} [(E(x_i-n\theta))^2 + D(x_i-n\theta)] = \frac{1}{\theta^2 \cdot (1-\theta)^2} [(E(x_i-n\theta))^2 + Dx_i] = $
$= \frac{1}{\theta^2 \cdot (1-\theta)^2} [(E(x_i-n\theta))^2 + \theta \cdot (1-\theta)]$
И вот тут, если бы первое слагаемое в скобке было нулем, то всё сошлось бы, но оно равно $(\theta (1-n))^2$
Подскажите, где я ошибаюсь

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #1026980 писал(а):

Подставив функцию вероятности и продифференциировав по $\theta$ получим:

Можно вот в этом месте поподробнее?

[MestnyBomzh]

Otta
$P(\xi = x_i) = C_n^k \theta^{x_i} \cdot (1-\theta)^{n-x_i}$. Тогда $\ln P(\xi = x_i) = \ln C_n^k + x_i \ln \theta + (n-x_i) \ln (1-\theta)$
Значит $\frac{\partial P(\xi = x_i)}{\partial \theta} = \frac{x_i}{\theta} + \frac{x_i-n}{1-\theta}$

[Otta]

Стоп. Что такое распределение Бернулли?

[MestnyBomzh]

Проводится 1 эксперимент. Тогда вероятность успеха: $\theta$, а вероятность не успеха: $1-\theta$

[Otta]

Хорошо. Сколько значений принимает распределенная по Бернулли с.в.?
И сравните это с той, которая написана выше, думаю, помните, что название у нее другое.

[MestnyBomzh]

Распределенная по Бернулли CВ принимает два значения: 1 или 0.
Та, которая написана у меня выше - биномиальная. У неё функция вероятности: $P(\xi = x_i) = C_n^k \theta^{x_i} \cdot (1-\theta)^{n-x_i}$
Ну и, как я понимаю, в данной задаче $\xi = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i$

[Otta]

Звиняйте, Вы информацию Фишера для параметра какого распределения ищете? У Вас выборка откуда? информация Фишера - функция параметра или оценки параметра?

[MestnyBomzh]

Для распределения биномиального. $\xi $ же биномиально распределено
Информация Фишера - функция параметра

[--mS--]

Дайте определение информации Фишера.

[MestnyBomzh]

Информация Фишера для дискретного случая: $I_1 (\theta) = E ((\frac{\partial \ln{P( \xi=k)}}{\partial \theta})^2)$
Для непрерывного меняем функцию вероятности меняем на функцию плотности

[Otta]

Ладно, не будем на кривость временно обращать внимание. Скажите лучше вот что - определения принято полностью говорить, - это определение информации Фишера параметра какого распределения?

[MestnyBomzh]

Для дискретного распределения
Или Вы не это имели в виду?

[Otta]

Нет. Какого конкретно.

[MestnyBomzh]

Эм... того, которое зависит от оцениваемого параметра?