В комплексном случае

[ex-math]

Mikhail_K
Как я понимаю, для собственных интегралов достаточно просто непрерывности. А вот с несобственными надо смотреть. Проще в каждом случае индивидуально, заменить на собственный плюс остаток, остаток оценить и посмотреть, что выйдет.

[Mikhail_K]

ewert, скажите, пожалуйста, в каких случаях перестановка контуров бывает, а в каких не бывает принципиальной.
Интересен случай замкнутых контуров, и интересен случай контуров уходящих в бесконечность обоими концами.

[ex-math]

Нет никакой перестановки контуров. Они вообще на разных комплексных плоскостях. Есть перемена порядка интегрирования. Если функция непрерывна (как функция двух переменных), а контуры кусочно-гладкие и конечные, то все хорошо. Если же интеграл несобственный, то надо смотреть. Можно какие-то условия сформулировать, используя равномерную сходимость или конечность интеграла от модуля, но в единой форме трудно, потому что непонятно, где и что за особенности. Потому и говорю, напишите интеграл и посмотрим.

[Otta]

Mikhail_K в сообщении #1025431 писал(а):

ну хоть какие-нибудь теоремы, пусть не на все случаи жизни. О перестановке порядка интегрирования в повторных интегралах от комплексных функций по контурам на комплексной плоскости.

А пожалста. Интегральная теорема (и формула) Коши в многомерном случае. Нравится? Нет?

Это, конечно, больше, чем нужно, но зато полезно. :)

[Padawan]

Не вижу ничего специфического в интегралах по кривым в комплексной плоскости. Обычно предполагается, что кривая спрямляема. Тогда $\int_\Gamma f(z) dz=\int_\Gamma f(z) e^{i\alpha (z)} ds$ (интеграл первого рода, т.е. по длине дуги), где $\alpha(z)$ -- угол, который образует касательная к кривой с положительным направлением вещественной оси, он определён почти всюду на кривой. Таким, образом все сводится к интегралу по обычной положительной мере. И, например, если $\int_{\Gamma_1} |dz_1|\int_{\Gamma_2} |f(z_1,z_2)| |dz_2|<+\infty$, то по обычной теореме Фубини

$$ \int_{\Gamma_1} dz_1\int_{\Gamma_2} f(z_1,z_2) dz_2=\int_{\Gamma_2} dz_2\int_{\Gamma_1} f(z_1,z_2) dz_1 $$

Для неабсолютно сходящихся интегралов доказать перестановочность интегралов проблематично и в вещественном случае. Комплексные кривые тут ничего нового не дают. Если и дают, то только хорошее, в случае когда есть аналитичность по одной из переменных.

[Mikhail_K]

Padawan, большое спасибо!