Уравнение в частных производных - как решать?

[Arastas]

Добрый день!
Есть некоторая константа $k\ne 0$ и переменные $x_1,x_2\in \mathcal{R}$, причем $x_1>0$. Надо найти такую функцию $f(x_1,x_2)$, для которой выполняется:

$$(x_1 \cos(x_2) + k x_1^2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} - \sin(x_2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} + 2 k x_1 f(x_1,x_2) = 0$$

или

$$ \sin(x_2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2} - x_1 \cos(x_2)\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} - 2 kx_1 =0.$$

Или показать, что такой функции не существует.
Я с уравнениями в частных производных никогда толком не работал. Подскажите, пожалуйста, как подступаться к таким задачам, куда смотреть? Умеют ли такие задачи решать пакеты символьной математики, типа Maple или Mathematica?

[Red_Herring]

В любом разумном учебнике УЧП есть одна из самых первых глав: уравнения первого порядка. Прочтите ее (она простая). Они по существу сводятся к системе ОДУ (в данном случае вроде бы неинтегрируемой для первого у-ния, и интегрируемой для второго).

На форуме это тоже обсуждалось многократно

[svv]

Первое можно привести к виду
$\partial_x(kx^2\; f+x\cos y\; f)=\partial_y(\sin y \;f)$ ,
где $x=x_1, y=x_2$.

[Arastas]

Red_Herring в сообщении #1026602 писал(а):

В любом разумном учебнике УЧП есть одна из самых первых глав: уравнения первого порядка.

Хорошо, тогда такой вопрос: Подскажите, пожалуйста, какую-то хорошую книгу по УЧП, можно и на английском, которую можно найти в электронном виде и затем использовать как справочник и помощник для решения подобных задач?

[Red_Herring]

Например, http://www.math.toronto.edu/courses/apm346h1/20151/L2.html

[Oleg Zubelevich]

По-моему проще всего понять содержание таких задач, тогда и метод решения вспоминать не надо будет.
Рассмотрим "урчп" $u_t(t,x)+v^k(t,x)\frac{\partial u}{\partial x^k}=0,\quad k=1,\ldots, m$. Здесь написано , что функция $u(t,x)$ является первым интегралом системы $\dot x^k=v^k(t,x)$.
Последняя система имеет $m$ независимых первых интегралов $f_1(t,x),\ldots ,f_m(t,x)$. Поэтому функция $u$ будет выражаться ччерез них: $u(t,x)=U(f_1(t,x),\ldots, f_m(t,x))$

Дальше начинаются всевозможные модификации. Например,

$$u_t(t,x)+v^k(t,x,u)\frac{\partial u}{\partial x^k}+a(t,x,u)=0\qquad (*)$$

Это уравнение сводится к предыдущему если мы станем искать $u$ в неявном виде: $F(t,x,u)=0$. Откуда $u_{x^k}=-F_{x^k}/F_u,\quad u_t=-F_t/F_u.$ Подставляя эти формулы в уравнение (*) получим уже разобранное уравнение на функцию $F$.

Разумеется, все рассуждения локальные.

-- Сб июн 13, 2015 21:30:44 --

Замечание. Уравнение (*) является частным случаем уравнения Гамильтона-Якоби.