Задача по теорверу

[KotoVas]

В каждой упаковке жевательной резинки содержится вкладыш одного из 5 видов. Найти среднее число упаковок жвачки, при котором можно собрать все виды вкладышей.
Не знаю, как подойти к решению. Понятно, что среднее число упаковок - матожидание. Но какое здесь вероятностное пространство - не понимаю.
UPD: в качестве множества элементарных исходов пытаюсь рассмотреть $\Omega=\{\omega=(a_1,a_2,\dots), a_i \in \{1,...,5\}\}$ - множество последовательностей чисел от 1 до 5 (виды вкладыша). Тогда можно определить случайную величину $\xi:\Omega\to\mathbb{R}, \xi(\omega)=\min\{i:(a_1,a_2,\dots,a_i)$ содержит все виды вкладышей$\}$. И если найти плотность распределения $\xi$, то останется найти матожидание по определению. Но как расписать плотность распределения для такой случайной величины?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

KotoVas в сообщении #1026367 писал(а):

Но как расписать плотность распределения для такой случайной величины?

Для такой - никак.

[Shadow]

Сколько в среднем покупок надо сделать до первого успеха? (Успехом называем покупку нового продукта - которого еще нет в коллекции).
А до второго, ...а до пятого?

[KotoVas]

До первого успеха нужна одна покупка.
До второго успеха с вероятностью $\frac{4}{5}$ нужно 2 покупки, с вероятностью $\frac{4}{25}$ нужно 3 покупки, с вероятностью $\frac{4}{125}$ нужно 4 покупки и т.д. Значит, среднее число покупок для двух успехов равно $\frac{4}{5}\cdot 2+\frac{4}{25}\cdot 3+\dots+\frac{4}{5^{n-1}}\cdot n+\dots=4\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n}{5^{n-1}}=\frac{9}{16}\cdot 4=\frac{9}{4}.$
Эти рассуждения верны?

[provincialka]

Вы считаете число покупок от начала, или от предыдущего успеха? Первый способ неудобен, так как далее место успеха меняется!

[KotoVas]

До третьего успеха с вероятностью $\frac{3}{5}$ нужна $\frac{9}{4}+1$ покупка (это как 1.5 землекопа. На прошлом шаге нужно было округлять?), с вероятностью $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}$ нужно $\frac{9}{4}+2$ покупки и т.д. Значит, среднее число покупок для трёх успехов равно $(\frac{9}{4}+1)\cdot \frac{3}{5}+(\frac{9}{4}+2)\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}+\dots=\frac{3}{5}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{9}{4}+n) (\frac{2}{5})^{n-1}=\frac{3}{5}\cdot \frac{235}{36}=\frac{47}{12}.$
Аналогично для четырёх успехов получается $\frac{77}{12}$
В итоге для пяти у меня выходит $\frac{137}{12}$. Это похоже на правду?

[provincialka]

Ну... Зачем так сложно? Мне кажется, легче отсчитывать покупки от предыдущего успеха.

Например, пусть в некоторый момент вы купили $k$-ый вкладыш. Тогда с вероятностью $p=\frac {k}{5}$ в очередной пачке будет старый вкладыш... Среднее число пачек будет равно $(1-p)\sum\limits_{i=1}^\infty ip^{i-1} = \frac 1{1-p}$

Осталось сложить эти величины для всех $k$ от 0 до 5

[arseniiv]

(Оффтоп)

Кстати, хорошая задача. Она имеет практическое применение: сколько надо прослушать песен, прежде чем их случайный равномерный выбор плеером покроет весь обширнейший список из \scalebox{3}{$N$} (их действительно много) штук?

[provincialka]

arseniiv

(Оффтоп)

$N\cdot H_N$, используется отрезок гармонического ряда

[--mS--]

https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_co ... 's_problem