О редукции систем уравнений в частных производных

[VanD]

Добрый день! Интересует такой вопрос:

Допустим, у нас есть система уравнений (рассмотрим на примере мелкой воды, $h(x)$ произвольная фиксированная):
$\begin{aligned}&u_t+uu_x+\eta_x = 0, \\ &u_x(\eta+h(x))+u(\eta_x+h')+\eta_t = 0. \end{aligned}$
Ограничение распределения Картана на систему порождается векторными полями
$\begin{aligned}&Y_1 = \frac{\partial \ }{\partial x} + u_x\frac{\partial \ }{\partial u} + \eta_x\frac{\partial \ }{\partial \eta}, \\ &Y_2 = \frac{\partial \ }{\partial t} - (uu_x + \eta_x)\frac{\partial \ }{\partial u} - (u_x(\eta+h(x)) + u(\eta_x + h'))\frac{\partial \ }{\partial \eta}, \\ &Y_3 = \frac{\partial \ }{\partial u_x}, \\ &Y_4 = \frac{\partial \ }{\partial \eta_x}. \end{aligned}$
в том смысле, что всякое поле из распределения Картана на системе есть комбинация этих 4-х, взятых с коэффициентами, зависящими от точки. (Параметризация поверхности, которая здесь была выбрана, вроде бы понятна, обозначения координат рассматриваемой системы координат на содержащем систему $J^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^2)$ взяты соответствующими обозначениям производных зависимых переменных по независимым).

У распределения Картана на системе нет первых интегралов, но можно обнаружить, что в случае $h(x) = c_1x+c_2$ можно найти первый интеграл для подраспределения, которое порождается полями $Y_1 + \frac{1}{u \pm \sqrt{\eta+h(x)}},Y_3, Y_4$ в указанном смысле.

Этот первый интеграл позволяет рассмотреть (для решений, которые являются интегральными поверхностями пар полей из подраспределения) вместо исходной системы одно уравнение первого порядка на $\eta$ и одно алгебраическое соотношение между $\eta$ и $u$. Понятно, что часть решений (а именно, которые являлись интегральными поверхностями тех пар векторных полей из распределения на системе, которые не вошли полностью в рассматриваемое подраспределение) теряется, но эта редукция всё равно представляет большой интерес.

Собственно вопрос: известно, что только при $h(x) = c_1x+c_2$ мелкая вода может быть линеаризована точечной заменой переменных, нет ли связи между подобными вопросами (о существовании первого интеграла для подраспределения, порождённого тремя полями и линеаризуемостью, наличием инвариантов Римана и т.д.)? И где в литературе рассматривался вопрос о наличии первых интегралов для подраспределений на уравнениях/системах и их связи с подобного рода редукциями для некоторых решений?

[VanD]

Пардон, в сообщении выше опечатка: указанное подраспределение порождается полями $Y_1 + \frac{1}{u \pm \sqrt{\eta + h(x)}}Y_2, Y_3, Y_4$ (то есть их два - по одному для каждого выбора знака в коэффициентне при $Y_2$, но первый интеграл один и тот же для обоих).

[VanD]

VanD в сообщении #1026511 писал(а):

но первый интеграл один и тот же для обоих

Тут неточность: первые интегралы также отличаются знаками в одном месте и уравнения первого порядка на $\eta$ тоже отличаются знаками в одном месте.