Обратная задача

[l0l]

День добрый!
Рассматриваю приведенную функцию по которой строю график... Для удобства решил поменять местами функцию и аргумент, но ни как не могу получить обратную $x(y)$. каким образом это возможно сделать?
Спасибо!

$$ $y(x)=\begin{cases} \frac x a,&\text{при $0 \leqslant x \leqslant x_1$;}\\ \frac x a+\left({y_2} - \frac {x_2} a \right) \left(\frac {x-x_1} {x_2-x_1}\right)^N,&\text{при $x_1<x \leqslant x_3$;}\\ \end{cases} $$

где:
$a=\operatorname{const}$

$N= \frac { \ln \left( \frac {y_3 - x_3/a} {y_2 - x_2/a}\right)} {\ln \left( \frac {x_3 - x_1} {x_2 - x_1}\right)}$

$(x_1,y_1); (x_2,y_2); (x_3,y_3)$ - соответствующие заданные координаты трех точек графика

[ИСН]

В цифры не вникал, но похоже, в зависимости от $N$ обратная задача может сводиться к уравнению квадратному (знаете, как такие решаются?), кубическому, четвёртой, или любой другой степени (возможно, нецелой). Согласитесь, что общий случай никак не может быть проще частного.

[l0l]

ИСН в сообщении #1026467 писал(а):

(знаете, как такие решаются?), кубическому, четвёртой, или любой другой степени (возможно, нецелой).

С такими задачами не сталкивался...((( Есть какие общие подходы?
По сути это функция должна проходить через Три заданные точки, верней через 4, если считать начало координат - 0,0. начальный участок прямая (от начала координат до первой точки), а затем плавно без резких изгибов через оставшиеся точки...
Прикрепляю график функции, которую указал в теме.

[ewert]

l0l в сообщении #1026683 писал(а):

По сути это функция должна проходить через Три заданные точки,

А что Вам, собственно, надо найти? Через первые две точки Ваш график проходит, а через третью -- только при подходящем показателе степени. Ну так и найдите его логарифмированием; при чём тут обратная функция?

[ИСН]

Он его уже нашёл (приведён в первом сообщении). Нужно что-то другое.

[ewert]

ИСН в сообщении #1026693 писал(а):

Он его уже нашёл

хм; а я ведь это даже видел, но потом забыл.

Ну если и впрямь нужна обратная функция, то -- только численно, естественно. Если вручную, то метод Ньютона от правого конца вполне сойдёт.

[l0l]

ewert в сообщении #1026689 писал(а):

А что Вам, собственно, надо найти?

Функция в первом сообщении $y(x)$ - для нее привел график см. выше мой пост.
1) нужно повернуть график, то есть получить обратную функцию $x(y)$ (см. рисунок в этом сообщении)
2) в идеале мне необходимо продлить ее до четверной точки. Сейчас она проходит через 3 точки...


-- Сб июн 13, 2015 15:30:24 --

ewert в сообщении #1026694 писал(а):

Ну если и впрямь нужна обратная функция, то -- только численно, естественно. Если вручную, то метод Ньютона от правого конца вполне сойдёт.

Ну это да... в Excel задать координаты 3 - 4 х этих точек да найти приближенную методом наименьших квадратов...
Но меня интересует аналитическое описание, т.е то что аналогично в первом сообщении... Каким образом можно решить эту задачу?

[ИСН]

Никаким. И с четвёртой точкой, кстати, тоже просто так не получится.

[Pphantom]

l0l в сообщении #1026708 писал(а):

Каким образом можно решить эту задачу?

Она в общем случае не решается.

[l0l]

Pphantom в сообщении #1026726 писал(а):

Она в общем случае не решается.

Мда, печально.
А что если, как есть без преобразования в обратную... продлит до 4 точки (имеется ввиду функция из первого поста)? такое возможно (аналитически)?

[ИСН]

Если под словом "продлить" понимать "стереть эту функцию и задать какую-то другую", то да, а если нет, то нет.

[Pphantom]

Так, давайте-ка подробнее. Что именно известно про четвертую точку? Вам нужно по $y_4$ найти $x_4$?

[l0l]

ИСН в сообщении #1026736 писал(а):

Если под словом "продлить" понимать "стереть эту функцию и задать какую-то другую", то да, а если нет, то нет.

Pphantom в сообщении #1026737 писал(а):

Так, давайте-ка подробнее. Что именно известно про четвертую точку? Вам нужно по $y_4$ найти $x_4$?

Рас не получится сделать обратную с продлением, то Возможно ли записать Новую функцию?:
1) проходящую через начало координат
2) через четыре заданные точки (координаты заданы $(x_1,y_1); (x_2,y_2); (x_3,y_3); (x_4,y_4)$ )
3) от начала координат до первой точки - прямая
4) дальше без острых перегибов (имею ввиду не просто 4 точки + начало координат = 4 прямых отрезка)
5) всегда возрастать (координаты каждой последующей возрастающие, ну и функция между точками тоже должна возрастать)
В общем то что есть в первом посте, только провести ее еще через четвертую заданную точку $(x_4,y_4)$

[ИСН]

Какой-нибудь квадратичный сплайн сгодится.

[arseniiv]

Помнится, я тоже так играл в «подбери функцию», чтобы она $f(x) = f(c^2/x)$, и чтобы в $c$ был максимум, а в нуле ноль, и чтобы гладкая. И подобрал. А потом у неё интеграл по $[0;+\infty)$ как разойдётся!

Мораль: не надо забывать, откуда взялась конкретика — тогда есть шанс найти другую получше.