Интуиционистская логика. В чем проблема?

[epros]

(Оффтоп)

whitefox в сообщении #1024377 писал(а):

В том числе и само это утверждение.
В том числе и утверждение в предыдущей строке.

-- Вс июн 07, 2015 16:46:22 --

Anton_Peplov в сообщении #1024378 писал(а):

В любой или в теории с перечислимым множеством аксиом?

Есть мнение, что "теория с неперечислимым множеством аксиом" собственно теорией не является, ибо в такой "теории" нормальное доказательство чего бы то ни было невозможно.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1024368 писал(а):

Таковым высказыванием является континуум-гипотеза, которая на языке классической логики второго порядка может быть сформулирована без привлечения какой бы то ни было дополнительной аксиоматики (т.е. ни аксиомы арифметики, ни аксиомы теории множеств и т.д. не используются).

О, а где можно про это почитать?

[Kras]

Joker_vD, меня тоже это волнует

[epros]

Joker_vD в сообщении #1024666 писал(а):

О, а где можно про это почитать?

Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic., стр. 105.

[bayah]

epros
То есть проблема в том, что существуют утверждения, которые нельзя ни доказать ни опровергнуть. Но так как мы считаем (в классической логике), что каждое утверждение либо ложно, либо истинно, то это самое утверждение, которое нельзя ни опровергнуть, ни доказать, вне зависимости от этого мы так же продолжаем полагать либо истинным, либо ложным. Откуда тут взяться третьему?

Что делается в этом месте в интуиционистской логике с такими утверждениями?
Допускается существование третьего состояние для нашего утверждения? Что это тогда за состояние?
Или просто не принимается к рассмотрению такое утверждение?

А если, как вы говорите, мы можем считать некое утверждение как истинным, так и ложным, то какие в обоих случаях последствия нашего произвольного выбора? Например в случае с континуум гипотезой? Как я понимаю, никаких?

[epros]

bayah в сообщении #1024912 писал(а):

Откуда тут взяться третьему?

В классической логике? Ниоткуда. Вопрос в другом: откуда тут взяться одному из двух.

bayah в сообщении #1024912 писал(а):

Что делается в этом месте в интуиционистской логике с такими утверждениями?
Допускается существование третьего состояние для нашего утверждения? Что это тогда за состояние?

Вам известно конструктивное доказательство того, что $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ иррационально? Если нет, то что Вы с этим делаете? Я -- ничего не делаю, просто не приписываю этому утверждению ни истинность, ни ложность. Закона-то исключённого третьего нет -- я не обязан приписывать. Мало того, я не приписываю истинности также и утверждению о том, что данное число либо рационально, либо иррационально. Разумеется, всё это только до тех пор, пока я не проверю доказательство (а оно на самом деле есть).

Конкретного третьего логического значения типа "неразрешимо" в конструктивной логике тоже нет (ибо, а вдруг таки разрешится?). Всё сложнее: классический анализ находит у конструктивной логики счётное количество логических значений, однако, в стиле классической логики, никаких конкретных логических значений, отличных от "истинно" и "ложно", назвать не может.

bayah в сообщении #1024912 писал(а):

то какие в обоих случаях последствия нашего произвольного выбора? Например в случае с континуум гипотезой? Как я понимаю, никаких?

Как я пониманию, можно вообще ни о чём никаких выводов не делать, и никаких последствий кроме отсутствия знаний это иметь не будет. А какие последствия Вы сочли бы печальными? Например, меня напрягает утверждение о существовании объектов, пример которых заведомо невозможно и никогда не станет возможным привести. Конструктивная логика от этого спасает.

Кстати, утверждение о существовании недоказуемых истин -- из того же разряда: Классическая логика существование оных истин утверждает, однако пример привести не может.

[alex_dorin]

Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic
Поделитесь в электронном виде

[whitefox]

http://bookfi.org/book/580639