Уравненьице...

[OlegCh]

Пусть дана функция $y(x)=x^{x^{x^{x^{...}}}}$(бесконечная такая башня из иксов) на интервале $[1,\infty)$. Необходимо решить уравнение $y(x)=a$, $a\geq 1$.
Очевидно (вроде бы), поскольку башня бесконечная, то уравнение не изменится если снизу подставить еще один $x$, тогда получим $x^{y(x)}=a$ и если $x$ - решение, то отсюда $x^{a}=a$, откуда $x=a^{\frac{1}{a}}$.
Казалось бы, вот и всё. Никаких ограничений при решении на $a$ мы не накладывали, функция $y(x)$ на этом интервале вполне себе непрерывная, гладкая и монотонно возрастающая от 1 до $\infty$ (показано качественно):

Раз функция монотонно возрастающая, то и решение уравнения следует ожидать монотонно возрастающим. Однако, если построить график $x(a)=a^{\frac{1}{a}}$, то мы обнаружим максимум, а затем спад:

Т.е. получается, что наше решение неверно! (по крайней мере для достаточно больших $a$). В чем тут подвох, всю голову сломал?

[svv]

Когда $x>e^{\frac 1 e}=1.444667861...$, последовательность $(x, x^x, x^{x^x}, ...)$ неограниченно возрастает.

Такой $x$ к уравнению $\operatorname{PowerTower}(x)=a$ отношения уже не имеет, потому что левая часть уравнения не определена.

Интересно, что при приближении $x$ к $e^{\frac 1 e}$ снизу функция $\operatorname{PowerTower}(x)$ стремится к $e$, а не к бесконечности, а потом вдруг — раз! — и не существует.

Исправил.

[grizzly]

Если верить Вольфраму функция сходится только на отрезке $[e^{-e}; e^{1/e}]$, что с другой стороны выглядит не настолько очевидно. Вероятно, там будут какие-то попеременные скачки ближе то к 0, то к 1.

[OlegCh]

Вблизи нуля возникают осцилляции, я поэтому и рассматриваю интервал от 1 чтобы голову не морочить.

[Red_Herring]

grizzly в сообщении #1025617 писал(а):

Если верить Вольфраму функция сходится только на отрезке $[e^{-e}; e^{1/e}]$, что с другой стороны выглядит не настолько очевидно. Вероятно, там будут какие-то попеременные скачки ближе то к 0, то к 1.

Разумеется. Только никакой Вольфрам не нужен, а нужна теорема о неявной функции и тривиально выяснить что $\ln y/y$ монотонно возрастает от $0$ до $e$, а потом убывает. Поэтому ф-я $y(x)$ определена при $1\le x<e^{1/e}$, а дальше нет: ведь определяется она как предел последовательности $y_n(x)$, $y_1(x)=x$, $y_{n+1}(x)=x^{y_n(x)$ и заявления ТС о том что функция хорошая (подразумевается везде) неверно. Что легко следует из им же найденного противоречия

[OlegCh]

Red_Herring в сообщении #1025639 писал(а):

и заявления ТС о том что функция хорошая (подразумевается везде) неверно.

Ну теперь-то я уже понял. Спасибо всем за подсказки.

[grizzly]

Red_Herring в сообщении #1025639 писал(а):

Только никакой Вольфрам не нужен, а нужна теорема о неявной функции и тривиально выяснить что $\ln y/y$ монотонно возрастает от $0$ до $e$, а потом убывает. Поэтому ф-я $y(x)$ определена при $1\le x<e^{1/e}$

Эту сторону я назвал тривиальной, имея в виду, что заметить, как, скажем, ${}^n2$ улетает на бесконечность невооружённым глазом совсем просто.

А вот c другой стороны от $x\in [e^{-e};1]$ ситуация для (моего) невооружённого глаза не настолько тривиальная, чтобы заметить 2 предельные точки последовательности $y_n(x)$ для каждого $0<x<e^{-e}$.

Впрочем, ТС об этом не спрашивал, мне просто стало любопытно отметить.

[grizzly]

Вопрос меня заинтересовал и я решил полистать первоисточники. Как обычно (уже не первый раз), отличился Вольфрам, подсунув длиннющую статью Эйлера на латыни -- совершенно левую. Фе.

Здесь можно познакомиться с доказательством и забавными историческими моментами (Эйзенштейн через полста лет после Эйлера независимо решил эту задачу, но с ошибками). Вообще, статья интересная.

Таки оказалось, что расходимость на $(0;e^{-e})$ доказывается не так тривиально.