задача

[Профессор Снэйп]

Henrylee писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Таким образом, правильный ответ к задаче --- это число

$$ \frac{40!}{2^7 \cdot 3^6} $$

Факториалы в знаменателе не пропустили?

Пропустил. Исправил уже.

[Архипов]

Все-таки задача не очень корректна. Если задача комбинаторная, то следует определять процедуру перебора. В данной задаче не указан способ размещения. Если мы сами определять начнем, то много вариантов ответа будет.
На число 40, по-моему, не стоит ориентироваться, оно только говорит нам о том, что все пустующие номера будут заполнены.
Можно предположить 6 вариантов решений администрации.
Можно предположить больше, если размещать по номерам в произвольном порядке, то есть осуществить перестановки с повторениями. Тогда ответ возможен такой 21!/(6!*7!*8!).

(Т-3-местн, Д -2-мест, О-одноместн)
Варианты списков:
ТТТТТТДДДДДДДОООООООО
ТТООТДОДДОТОТДДОТОДОД
..............................................
Если размещать каждого из 40 в произвольном порядке, то
ответ такой 40!/(18!*14!*8!) ?
вариант списка:
ТТТТТТООТТТДДОДДДДОТТТОТТТДДДДОТТТОДДОДД
...................................................................................

[PAV]

Здесь ничего некорректного нет. Расселение - это указание каждому гостю номера комнаты, в которую его селят. Если угодно, выдача его ключа с номером этой комнаты. Решение однозначно.

[Архипов]

PAV писал(а):

Здесь ничего некорректного нет. Расселение - это указание каждому гостю номера комнаты, в которую его селят. Если угодно, выдача его ключа с номером этой комнаты. Решение однозначно.

А если добавить еще возможность?
"Выдача его ключа с номером этой комнаты и номером кровати (для 3х и 2х местных)".
Оказывается - вполне можно обозначить все 40 мест.
сначала одноместные 1 2 3 4 5 6 7 8
потом двухместные 9,10__11,12___........__.21,22
потом трехместные 23,24,25__..........._38,39, 40
Получился вагон с люксом, полулюксом и купе.
Тогда вариантов размещения будет $40!$_____

[Димитрий]

Позвольте ещё раз спросить, правильно ли теперь нахожу k1:

$k1=(C_{18}^3 \CDOT C_6^1) \CDOT (C_{15}^3 \CDOT C_5^1) \CDOT (C_{12}^3 \CDOT C_4^1) \CDOT (C_9^3 \CDOT C_3^1) \CDOT (C_6^3 \CDOT C_2^1)=6! \CDOT C_{18}^3 \CDOT C_{15}^3 \CDOT C_{12}^3 \CDOT C_9^3 \CDOT C_6^3$

[Профессор Снэйп]

Димитрий писал(а):

$k1=(C_{18}^3 \CDOT C_6^1) \CDOT (C_{15}^3 \CDOT C_5^1) \CDOT (C_{12}^3 \CDOT C_4^1) \CDOT (C_9^3 \CDOT C_3^1) \CDOT (C_6^3 \CDOT C_2^1)=6! \CDOT C_{18}^3 \CDOT C_{15}^3 \CDOT C_{12}^3 \CDOT C_9^3 \CDOT C_6^3$

Нет, неправильно. Правильно будет

$$ k_1 = C^3_{18} \cdot C^3_{15} \cdot C^3_{12} \cdot C^3_9 \cdot C^3_6 = \frac{18!}{6^6} $$

Множитель $6!$ --- лишний.

[Димитрий]

Большое спасибо всем за ответы!

[PAV]

Архипов писал(а):

А если добавить еще возможность?
"Выдача его ключа с номером этой комнаты и номером кровати (для 3х и 2х местных)".

Я не встречал гостиниц, в которых кровати в номерах были бы пронумерованы, и постояльцы бы к ним прикреплялись. Это уже домысливание. Если бы в задаче подразумевалось бы такое, то это означает фактически 40 одноместных номеров. Или, действительно, с железнодорожным поездом пример, но это то же самое. Тогда бы указание на то, сколько каких номеров, было бы лишним.

[Архипов]

PAV писал(а):

Я не встречал гостиниц, в которых кровати в номерах были бы пронумерованы, и постояльцы бы к ним прикреплялись. Это уже домысливание

Но ведь такой способ возможен. Почему же мы его исключаем? В задаче нет ограничения, то есть определения (указания на предел дробления групп).
Я пронумеровал кровати ( их 40), Вы пронумеровали только комнаты(их21), третий пронумерует только этажи (их 3: на 1м -одноместныетные, на 2м -двух, на 3м - трехместные номера).
Вопрос задачи:"сколькими способами администратор может разместить гостей?"
Правильных ответов несколько (от "1" до "40!"), а верный ответ только один.
Все-таки корректность вопроса вызывает сомнение.
В комбинаторике "способ" - процедура, описываемая словами, "вариант" - уникальная комбинация символов.
"Найдите максимально возможное количество вариантов размещенея при (таких -то) ограничениях".- более корректная форма тебования. А иначе я могу и по два человека на кровати разместить (ограничения не было в задаче, а - из опыта - такое возможно.). Да, задачи пишутся в расчете на прежний опыт (или контекст), но любой, читающий её, имеет право на уточняющие вопросы к экзаменатору.

[PAV]

Не стоит доводить уточнение условий до абсурда. Если так поступать, то задачники того же объема будут содержать в разы меньше задач. Мне представляется, что кроме Вас никому больше условия данной задачи неполными не кажутся. И нумеровать кровати никому в голову не приходит. Все-таки разумный здравый смысл при чтении условий задачи тоже следует привлекать. Человек не компьютер, которому необходимо задавать все желаемые действия с точностью до инструкций.

[Архипов]

PAV писал(а):

И нумеровать кровати никому в голову не приходит. Все-таки разумный здравый смысл при чтении условий задачи тоже следует привлекать. Человек не компьютер, которому необходимо задавать все желаемые действия с точностью до инструкций

Ну, коль мне в голову пришло, то вы - не правы (на счет того, что - никому). Кстати, женщины чаще,чем мужчины, выражают мысль неопределенно. И в большинстве профессий не полагаются на здравый смысл, а пишут именно подробные инструкции. А в математике, как точной науке, инструкция - необходимость безусловная. Да, человек - не компьютер, но программу в человека "загружают" десяток лет, чтобы он смог подобную задачу решить (на здравый ум тут не положишься). Но мы отвлеклись от проблемы корректности задачи.

[PAV]

Да нет в этой задаче никакой проблемы корректности. Одна из особенностей простых комбинаторных задач заключается в том, что учащийся должен научиться по смыслу текстовой формулировки задачи понимать, какая именно комбинаторная схема тут должна быть применена. Это, если угодно, часть задачи, и указание этой схемы в условии будет подсказкой. В возможных жизненных задачах схемы не указываются, но что означает "расселить гостей по номерам" подавляющему большинству людей все-таки понятно.

Если любого разумного человека спросить, сколькими способами можно заселить двух постояльцев в один двухместный номер, то он без лишних вопросов ответит "одним". А если в два одноместных, то двумя.

Добавлено спустя 20 минут 13 секунд:

Мне представляется, что спор себя исчерпал. Разумеется, задавать уточняющие вопросы не возбраняется. Если бы дело обстояло на экзамене или контрольной, то я бы на дополнительный вопрос бы ответил, хотя и решил бы для себя, что студент слишком мудрит. Но если бы я использовал такую задачку для проверки способностей при приеме на работу, то при таком дополнительном вопросе у меня бы возникли сомнения в том, что следует этого человека брать. Появилось бы опасение, что он сам не может принимать простейших решений и будет с каждой ерундой бегать к непосредственному начальнику за советом и ценным указанием.

[Архипов]

PAV писал(а):

Если любого разумного человека спросить, сколькими способами можно заселить двух постояльцев в один двухместный номер, то он без лишних вопросов ответит "одним". А если в два одноместных, то двумя.

Способ - процедура заселения. Вы вынуждаете меня придумывать способы, а их много можно придумать (одного - через дверь, другого - через окно, или обоих - серез печную трубу, сначала толстого, потом тонкого или наоборот) . Так и с обсуждаемой задачей. Администратор саказал: "занимайте любые кровати в свободных номерах, двери открыты". Всё. Один способ. И все 40 постояльцев бросились захватывать кровати, без лишних вопросов.
А в задаче надо бы спрашивать о возможных количествах или размещений, или сочетаний, или перестановок.

[PAV]

В данной (и аналогичных) задачах спрашивают не про способ заселения, а про результат заселения. Это общепринятое соглашение формулировок комбинаторных задач. Если бы это было не так, то в задачах с бросанием монеты мы могли бы говорить о множестве "способов бросания": левой или правой рукой, на стол или на пол, прямо перед собой или через плечо и т.д.

[Архипов]

PAV писал(а):

В данной (и аналогичных) задачах спрашивают не про способ заселения, а про результат заселения. Это общепринятое соглашение формулировок комбинаторных задач. Если бы это было не так, то в задачах с бросанием монеты мы могли бы говорить о множестве "способов бросания": левой или правой рукой, на стол или на пол, прямо перед собой или через плечо и т.д.

Согласен с Вами. Тогда нужно заменить в тексте задачи слово "способ" на другое слово.

Кстати, монету именно множеством способов и нужно бросать, чтобы результат (коих всего два) был непредсказуем. Про обсуждаемую задачу. Если заселение в трехместный номер не предусматривает размещения по кроватям, то ответ к задаче (уже пятый) должен быть ( 21! ). Так как номера друг от друга не различаются способом размещения, а их всего - 21. И число 40 указано тогда только для намека, что жильцов на все комнаты хватит.