Все одномерные собственные подпространства совпадают

[kp9r4d]

Верно ли, что если у двух операторов все одномерные собственные подпространства совпадают, то у них совпадают и все корневые пространства одинаковой высоты и присоединенные к этим вот одномерным собственным? Строго говоря если $\lambda_A, \lambda_B$ - два собственных значения одного и того же собственного вектора $v_1$, общего для операторов $A$ и $B$. То выполняется $\operatorname{Ker}(A-\lambda_A)^k=\operatorname{Ker}(B-\lambda_B)^k$ (А это значит, что они приводимы к жордановой форме "одинакового типа" т.е. имеют одинаковый набор жордановых клеток одинакового размера, но, быть может, с.з. в некоторых жордановых клетках отличаются.)
Возникло как лемма при решении одной задачи, и я её вроде как доказал, но что-то не уверен.
Док-во такое.
Пусть у нас есть пара операторов $A,B$ и $v_1$ некоторый общий собственный вектор.
Докажем по индукции, что присоединенный вектор $v_n$ оператора $A$ высоты $n$ к нему (к $v_1$) является также присоединенным вектором оператора $B$ высоты к нему. Предположим, что для $n-1$ утверждение доказано.

$$A v_n = v_{n-1}$$

$$(A (B v_n)) = Bv_{n-1}$$

$$(A (B v_n)) = v_{n-2}
где $v_{n-1}$ и $v_{n-2}$ - некоторые векторы соответствующих высот присоединенные к $v_1$. Откуда следует, что $B v_n$ - имеет высоту $n-1$, и откуда следует, что $v_n$ - присоединенный вектор высоты $n$ для $B$. Ну конец, собственно.

[Brukvalub]

Вот что мне непонятно: если написать две разные ж.н.ф размера 4: в одной будут две клетки размера 2,а в другой - одна клетка размера 3 и одна - размера 1, а потом считать их матрицами двух операторов в таких базисах, где первый и третий векторы первого базиса совпадают соответственно с первым и четвертым векторами второго базиса, то разве это не контрпример к утверждению?

[kp9r4d]

Мне кажется, что такой случай просто противоречивый. То есть выйдет, что либо первый и третий векторы первого базиса таки не равны первому и четвёртому второго, либо в первом или во втором базисе первый или второй оператор будут не в жордановой форме.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1024667 писал(а):

Мне кажется, что такой случай просто противоречивый.

Вот конкретная реализация, чем она плоха?

$$ \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\quad \text{и} \quad\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} $$

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1024615 писал(а):

$$A v_n = v_{n-1}$$

$$(A (B v_n)) = Bv_{n-1}$$

Второго не понял; но, помимо формальной стороны дела, непонятно ещё и то, что в точности Вы понимаете под одномерными собственными подпространствами, раз у Вас это подпространство как минимум двумерно -- собственные числа-то в этой выкладке одинаковы.

kp9r4d в сообщении #1024615 писал(а):

Верно ли, что если у двух операторов все одномерные собственные подпространства совпадают, то у них совпадают и все корневые пространства одинаковой высоты и присоединенные к этим вот одномерным собственным?

Неверно, конечно: если взять матрицу из двух жордановых клеток одного размера, то никто не запрещает в этом базисе два собственных вектора зафиксировать, а все остальные перемешать между собой как угодно, после чего взять новый оператор с ровно той же матрицей, но в полученном базисе.

[kp9r4d]

Да, потому и казалось сомнительным. Всем ответившим спасибо.