2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 XY = лин. комбинация матриц X и Y, доказать что они коммутир
Сообщение08.06.2015, 18:52 
Известно, что для двух квадратных матриц выполнено соотношение: $XY=\lambda X + \mu Y$, $\lambda,\mu$ не нулевые. Доказать, что матрицы коммутируют.

Подействовав на любой вектор из ядра $X$, устанавливаем что он лежит и в ядре $Y$. Аналогично делаем для ядра $Y$, отсюда $\ker{Y}=\ker{X}$ и $\operatorname{rank}{X}=\operatorname{rank}{Y}$. Еще образ и ядро разных операторов пересекаются только по нулевому вектору. Попробовал отсюда + неравенства для рангов сделать какой-то вывод, не получилось.

Прямой проверкой еще ясно, что собственные вектора у операторов совпадают, собственные значения разные.

На этом застрял.

 
 
 
 Re: XY = лин. комбинация матриц X и Y, доказать что они коммутир
Сообщение08.06.2015, 20:57 
перепишем равенство в виде $X(Y-\lambda E)=\mu Y$. Заметим, что $\lambda$ не является собственным значением $Y$. (Рассуждения от противного основанные на жордановой форме $Y$). Тогда $X=\mu Y (Y-\lambda E)^{-1}$. ЧТД

 
 
 
 Re: XY = лин. комбинация матриц X и Y, доказать что они коммутир
Сообщение08.06.2015, 21:14 
Аватара пользователя
Можно даже без жордановой формы, если записать $(X - \mu E)(Y - \lambda E) = \mu\lambda E$, то дальше все очевидно.

 
 
 
 Re: XY = лин. комбинация матриц X и Y, доказать что они коммутир
Сообщение08.06.2015, 21:27 
Спасибо

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group