Легкая задача по теории множеств

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $E$ - замкнутый единичный шар с центром в нуле в $\mathbb{R}^2$. Пусть $z\in E$. Как доказать, что для любого $\varepsilon >0$ в шаре $B_{\varepsilon}(z)$ есть точка $x\neq z$ и $x\in E$

Факт очевидный, но не могу строго доказать.

Пытался так: Так как $z\in E$, то $\rho(z,0)\leqslant 1.$ Возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и рассмотрим шар $B_{\varepsilon}(z)$ и берем оттуда точку $x$ такую, что $d(x,z)\neq 0$ (а почему такая точка существует?) и хочу доказать, что $\rho(x,0)\leqslant 1$.

[Brukvalub]

Соедините отрезком рассматриваемую точку с центром шара и побегайте по этому отрезку.

[ewert]

(Оффтоп)

(и при чём тут теория множеств?...)

[Ward]

Да вот соединил точку $z$ c центром шара.
Но пока ничего не понимаю.

[ewert]

Ward в сообщении #1024778 писал(а):

Да вот соединил точку $z$ c центром шара.

Ну так и бегите; чего ждать-то?

[Brukvalub]

Ward в сообщении #1024778 писал(а):

Да вот соединил точку $z$ c центром шара.
Но пока ничего не понимаю.

Все точки отрезка лежат в шаре, на отрезке есть точки, сколь угодно близкие к его концам.

[Hasek]

Ward в сообщении #1024773 писал(а):

Пытался так: Так как $z\in E$, то $\rho(z,0)\leqslant 1.$ Возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и рассмотрим шар $B_{\varepsilon}(z)$ и берем оттуда точку $x$ такую, что $d(x,z)\neq 0$ (а почему такая точка существует?) и хочу доказать, что $\rho(x,0)\leqslant 1$.

Такая точка существует по определению шара (если, конечно, $d(x,z) < \varepsilon$).
Чтобы доказать, что она лежит внутри исходного шара $E$, просто предъявите ее в явном виде, написав расстояния до $z$ и до $0$. Первое из них Вы уже выбрали. Как задать расстояние до центра, чтобы она наверняка "не вывалилась" (вдруг у Вас $z$ рядом с границей) за пределы шара $E$?