Функция Грина

[MestnyBomzh]

Задача: Как построить функцию Грина краевой задачи для дифф. ур-я, если известны собст. функции оператора?
Мне кажется, что эта задача вообще неразрешима. Поскольку я знаю, как строить функцию Грина, если известны 1) собственные числа 2) собственные функции. Как обойтись без первого?

[Red_Herring]

О каком ДУ идет речь? ОДУ или УЧП? Какая краевая задача—самосопряженная или нет?

Если самосопряженная, то ответ тривиален (но в каком смысле сходится ряд зависит от размерности и порядка); предполагая, что непрерывного спектра нет и $0$ не с.з. задачи

$$ G(x,y)= \sum_m \mu_m \psi_m(x) \bar{\psi}_m(y) $$

где $\mu_m=\lambda_m^{-1}$–с.з. обратного оператора, $\lambda_m$ - с.з. оператора.

[MestnyBomzh]

ОДУ.
Краевая задача, как я понимаю, Шутрма-Лиувиля. То есть, самосопряженная.
Но вы же использовали собственные значения. А даны только собственные функции. Или я неправильно понимаю условие?

[Vince Diesel]

А что известно то? Оператор $L$ дан? Если да, то $\lambda_n=\|L\psi_n\|_{L_2}/\|\psi_n\|_{L_2}$. Если нет, то получается обратная задача — восстановить оператор по собственным функциям.

[MestnyBomzh]

Задачу я списал дословно: " Как построить функцию Грина краевой задачи для дифф. ур-я, если известны собст. функции соответствующего оператора?"
По сути ничего не дано, кроме как собственных функций. Я подозреваю, что подразумевалась краевая задача Штурма-Лиувиля, а там вид оператора известен

-- 07.06.2015, 23:06 --

Vince Diesel в сообщении #1024600 писал(а):

А что известно то? Оператор $L$ дан? Если да, то $\lambda_n=\|L\psi_n\|_{L_2}/\|\psi_n\|_{L_2}$. Если нет, то получается обратная задача — восстановить оператор по собственным функциям.

А что здесь означает инекс "$L_2$"?

[Hasek]

MestnyBomzh в сообщении #1024607 писал(а):

Vince Diesel в сообщении #1024600 писал(а):

А что известно то? Оператор $L$ дан? Если да, то $\lambda_n=\|L\psi_n\|_{L_2}/\|\psi_n\|_{L_2}$. Если нет, то получается обратная задача — восстановить оператор по собственным функциям.

А что здесь означает инекс "$L_2$"?

Норма в пространстве $L_2$. Если что, она определяется как $||u||_{L_2} = [\frac{1}{b-a} \int\limits_a^b |u|^2 dx]^{\frac{1}{2}}$.

[ewert]

Я теории на этот счёт не знаю, но, в принципе, ресурс есть.

Во всяком случае, знание собственных функций означает знание граничных условий.

И для построения функции Грина нужно лишь знать решения дифура при только левом и только правом граничных условиях.

А вот что можно про эти решения сказать, зная функции только собственные -- этого я уже не в курсе.

[Red_Herring]

Если даны только с.ф. то оператор не вполне определен, даже если он ОДУ: умножая его на константу мы получим оператор с теми же с.ф. Но тогда обратный оператор и соответственно функцию Грина на эту константу делить надо. Т.е. задача не вполне определенная.

Более точно: допустим Вы знаете что уравнение порядка $m$, с переменными коэффициентами, которых $m+1$ штука. Тогда взяв первых $m+1$ с.ф. Вы получите столько же уравнений на эти коэффициенты в кои, однако, войдет столько же неизвестных констант $\lambda_k$, а именно с.з. Из этих уравнений Вы найдете эти коэффициенты и подставите в остальные уравнения коих $N-(m+1)$ где $N=m+1,m+2,\ldots,\infty$ — число сообщенных Вам с.ф.. Если Вам повезет, то Вы не получите противоречия и даже найдете все до одного с.з. (с точностью до общего постоянного множителя). Если Вам повезет меньше, то у Вас будет большее число неизвестных констант. А если совсем не повезет, то будет противоречие.

(Оффтоп)

Впрочем, можно считать, что это значит очень повезет, поскольку дальше можно ничего не делать

После чего Вы получите (кроме последнего случая) функцию Грина—в которую однако войдет хотя бы одна неизвестная константа.

(Оффтоп)

И какой извращенец такие задачи придумывает?

[MestnyBomzh]

Red_Herring
А от чего зависит это "повезет или нет"? Когда у нас есть уже все коэффициенты уравнения, разве мы не можем тогда найти все, что угодно?

(Оффтоп)

Мой препод по диффурам

[Red_Herring]

У Вас нет всех коэффициентов уравнения (если бы были, то и вопроса бы не было: зная оператор $L$ и с.ф. $\psi$ Вы бы нашли соответствующее с.з. тривиально. Но если у Вас заданы только порядок уравнения $m$:

$$ L \psi :=\sum_{k=0}^m a_k(x) \psi^{(k)} $$

и с.ф. $\psi_1,\ldots,\psi_N$ то у Вас будет линейная система

$$ \sum_{k=0}^m a_k(x) \psi^{(k)}_j - \lambda_j \psi_j=0,\qquad j=1,\ldots,N $$

$N$ уравнений с $m+1$ неизвестными $a_0(x),\ldots, a_m(x)$, содержащая $N$ неизвестных параметров $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$.

С потолка сказать нельзя, будет ли эта система разрешимой, и размерность числа решений.

Я еще краевые условия не "высчитывал", там еще условия могут выскочить

(Оффтоп)

Если Вы ничего не упустили и не исказили в условиях, то точно—тот кто составил задачу—извращенец.

[MestnyBomzh]

аа, я же еще про лямбды забыл.
Хм, ну ладно, спасибо!