Роль линейных зависимостей.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023450 писал(а):

на каждое апчхи не наздороваешся...

Янг-Миллс - это не апчхи, а на минуточку, всё известное мироздание. Так что игра стоит свеч. Уж по крайней мере, больше, чем в случае Навье-Стокса (который действительно больше смахивает на апчхи, просто имеет более давнюю историю).

(Оффтоп)

(Ну, точнее, Янг-Миллс с ЧСНС. Плюс можно SUSY вбросить.)

Oleg Zubelevich в сообщении #1023450 писал(а):

А главное, что свойство уравнения интегрироваться аналитически не имеет как правило ни какого физическо содержания

Зато имеет практическое: это уравнение становится легко решать.

Oleg Zubelevich в сообщении #1023450 писал(а):

Просто ТС... действует по принципу "слышу звон да не знаю где он".

Вам с ним неинтересно общаться - вот и ходите мимо. А вот мне и amon - интересно показалось.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1023456 писал(а):

Янг-Миллс - это не апчхи, а на минуточку, всё известное мироздание.

а если так, то об аналитической интегрируемости речи быть не может

Munin в сообщении #1023456 писал(а):

- вот и ходите мимо

а может вы сами пойдете... мимо?

-- Чт июн 04, 2015 21:35:27 --

Munin в сообщении #1023456 писал(а):

Уж по крайней мере, больше, чем в случае Навье-Стокса (который действительно больше смахивает на апчхи, просто имеет более давнюю историю).

а яя с этим никогда не спорил

[Part]

Munin в сообщении #1023414 писал(а):

(Боюсь, Oleg Zubelevich имел в виду поток функции распределения в фазовом пространстве каком-нибудь абстрактном...)

Интернет подсказывает, что речь может идти о решении задач неголономных систем методом интегрирующего множителя. Но мне это ничего не дает, так как подобные высоты для меня недоступны.

Лучше я попробую еще немного развить исходную тему.
Представляется неизбежным, что по мере развития теории уравнения будут усложняться. Если эксперимент показывает, что некий закон в определенных условиях нарушается, то новому закону придется, по традиции, содержать в себе старый в качестве предельного случая. В частности, если первоначальный закон был линейным, то обобщенный таковым уже не будет. Образно говоря, закон проливает свет в своих границах, но вне области его действия тучи сгущаются.
Я начал эту тему потому, что в статьях о проблемах современной физики (разумеется, доступных моему пониманию) мне попадались фразы: "недостаточно энергии ускорителя", "не хватает точности измерений", "соответствующая теория еще не разработана". Но как-то не встречалось опасений, что имеющийся математический аппарат постепенно отказывается служить. Вместо решения насущных задач доказываются теоремы о невозможности таковых решений.
Вот Munin привел прекрасный пример - решение Зундмана. Казалось бы, всего три точки, простой закон сил (на взгляд дилетанта, конечно). И в результате десятилетий упорного труда удалось построить ряд, который сходится так медленно, что мог бы претендовать на место в книге рекордов. Да и численные методы буксуют, так как решение быстро разрушается.
Так на что же надеются физики, когда строят новые теории?

Наверняка все мои недоумения есть лишь следствие незнакомства с предметом. Я не требую объяснений, достаточно будет просто похлопать по плечу и сказать: "Не переживай, все под контролем".

P.S. Oleg Zubelevich, при всем к нему уважении, допустил ошибку в уравнении Part = unistudent. Уж в чем-чем, а в этом я уверен.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023457 писал(а):

а если так, то об аналитической интегрируемости речи быть не может

Ну, вы, мягко говоря, не в курсе. Давайте вы сначала станете в курсе, а потом поговорим?

Part в сообщении #1023473 писал(а):

Представляется неизбежным, что по мере развития теории уравнения будут усложняться.

Ну вот неправда. В истории физики всё время наблюдается и усложнение, и упрощение. При этом, на фундаментальном уровне скорее идёт упрощение, чем усложнение. Например, СТО проще, чем классическая механика. Квантовая механика проще макроскопической.

Part в сообщении #1023473 писал(а):

Я начал эту тему потому, что в статьях о проблемах современной физики (разумеется, доступных моему пониманию) мне попадались фразы: "недостаточно энергии ускорителя", "не хватает точности измерений", "соответствующая теория еще не разработана". Но как-то не встречалось опасений, что имеющийся математический аппарат постепенно отказывается служить.

Потому что этого не боятся - на это надеются :-) Это же интересная задача - разработать новый математический аппарат. Кто это сделает - прославится в веках, как Ньютон, Максвелл, Эйнштейн и Шрёдингер.

Кроме того, такие "опасения" действительно есть, и многократно озвучивались: что мол, исчезнет линейность квантовой механики, исчезнет непрерывность пространства-времени... Но они постепенно перестали восприниматься серьёзно, поскольку звучат только неконструктивным ворчанием или преждевременной паникой. А у теоретиков уважают конструктивные идеи. Исчезнет... - а что будет вместо него? И вот тут акцент смещается на новые идеи, которые могут работать вместо старых. Суперсимметрия, суперструны, некоммутативная геометрия, спиновая пена... Это уже можно обсуждать. Правда, эксперимент этого пока ещё не потребовал. Но со всем этим уже работают.

Part в сообщении #1023473 писал(а):

Наверняка все мои недоумения есть лишь следствие незнакомства с предметом.

Интересно, а что вы вообще такого читаете на эти темы?

Рекомендую:
Окунь. Физика элементарных частиц.
Вайнберг. Мечты об окончательной теории.
Гинзбург. Нерешённые проблемы фундаментальной физики.

[Part]

Спасибо за ссылки, читаю. Окунь суров: "... игры в такой "кварковый конструктор" доступны даже школьникам младших классов. Это же относится и к ряду аспектов изотопической симметрии".
Пришла в голову еще одна картинка.
Пусть некий ученый решил построить свою собственную Вселенную. Если он (не я) обладает достаточной подготовкой, это вполне возможно (на бумаге, разумеется). Начнет, например, с мира, где есть только массивные частицы и простейшая гравитация. Уже что-то шевелится: планетные системы, вращающиеся галактики. Но как-то скучно и слишком смахивает на часовой механизм. Добавит электричество, пока только в виде закона Кулона. Появились силы отталкивания - движение стало разнообразнее. Заменит точки упругими протяженными телами и т.д.
Кстати, наверняка кто-то что-то подобное пробовал - и интересно, и поучительно.
Когда модель станет достаточно богатой, чтобы демонстрировать сложное и разнообразное поведение, он захочет поиграть её законами. Например, добавит в гравитацию член с четвертой сепенью по расстоянию. И сразу все рушится - орбиты более невозможны, вещество слипается в комки. Формально можно сказать, что и такая модель имеет право на существование, раз допустим полный произвол в выборе законов. Но очевидно, что Вселенная, в которой вещество собралось в одну точку или размазалось по всему пространству, какая-то "плохая". Критерий "хорошей" Вселенной - наличие сложной структуры, богатого набора уравновешивающих друг друга взаимодействий, способность избегать вырождения и т.п.
Вертится смутная идея, что для этого разные законы, управляющие моделью, должны удачным образом сочетаться между собой, как подходят друг к другу кусочки мозаики. И что чем сложнее эти законы, тем труднее собрать из них удачную конструкцию в том смысле, о котором говорилось выше.
Ну а раз наш мир богат и разнообразен, то законы его вынуждены быть простыми. Так что может оказаться, что изобилие линейных зависимостей это не следствие узких диапазонов, в которых проводятся эксперименты, или математические трудности при работе со сложными уравнениями, а необходимое условие существования сложного мира. И, следовательно, простота, как один из признаков правильной теории, требуется не только из эстетических соображений.

[Munin]

Part в сообщении #1023913 писал(а):

Критерий "хорошей" Вселенной - наличие сложной структуры, богатого набора уравновешивающих друг друга взаимодействий, способность избегать вырождения и т.п.
Вертится смутная идея, что для этого разные законы, управляющие моделью, должны удачным образом сочетаться между собой, как подходят друг к другу кусочки мозаики. И что чем сложнее эти законы, тем труднее собрать из них удачную конструкцию в том смысле, о котором говорилось выше.

Это называется "антропный принцип". Тоже погуглите, почитайте.

Part в сообщении #1023913 писал(а):

Так что может оказаться, что изобилие линейных зависимостей это не следствие узких диапазонов, в которых проводятся эксперименты, или математические трудности при работе со сложными уравнениями, а необходимое условие существования сложного мира.

Тут есть такое возражение. Давайте рассмотрим обычное вещество. Его можно нагревать, охлаждать, при этом оно проходит агрегатные состояния: твёрдое, жидкое, газообразное. Это огромные качественные отличия. Но вещество - это коллективное явление, образованное отдельными атомами. И что происходит на уровне отдельного атома? Да практически ничего. Он как был, так и остаётся, и внешние условия для него меняются в очень маленьком и узком диапазоне параметров. Практически не выходящем из линейного. Хотя мы знаем, что вдали от этих параметров происходят качественные изменения и на уровне атома: ионизация, рождение электрон-позитронных пар, ядерные реакции...

Или можно посмотреть на звёзды и галактики, на живые организмы и отдельные клетки, на биосистемы и особи... Везде мы видим один и тот же принцип: сложности на коллективном уровне сопровождаются именно узкими диапазонами, в которых "работают" их элементарные кирпичики. Линейность законов для этих "кирпичиков" в широких диапазонах - вовсе не обязательна.

[Part]

Munin в сообщении #1023932 писал(а):

Part в сообщении #1023913 писал(а):

Критерий "хорошей" Вселенной - наличие сложной структуры, богатого набора уравновешивающих друг друга взаимодействий, способность избегать вырождения и т.п.
Вертится смутная идея, что для этого разные законы, управляющие моделью, должны удачным образом сочетаться между собой, как подходят друг к другу кусочки мозаики. И что чем сложнее эти законы, тем труднее собрать из них удачную конструкцию в том смысле, о котором говорилось выше.

Это называется "антропный принцип". Тоже погуглите, почитайте.

Безусловно, антропный принцип имеет к этому прямое отношение. Но, насколько я понял, этот принцип допускает, что настройка могла бы быть и другой, лишь бы тоже самосогласованной. Мир бы возник тоже другой, может и получше нашего. Я же пытаюсь обратить внимание на то обстоятельство, что систему сложных законов и настраивать сложнее, а с какого-то этапа может и невозможно. Эх, владей я математикой, я бы попробовал вывести что-то вроде "система взаимодействующих частиц допускает невырожденные движения при лагранжиане не выше такой-то степени". Впрочем, это наверняка бессмыслица, а я только подставляю свою спину под розги.

Munin в сообщении #1023932 писал(а):

Тут есть такое возражение. Давайте рассмотрим обычное вещество. Его можно нагревать, охлаждать, при этом оно проходит агрегатные состояния: твёрдое, жидкое, газообразное. Это огромные качественные отличия. Но вещество - это коллективное явление, образованное отдельными атомами. И что происходит на уровне отдельного атома? Да практически ничего. Он как был, так и остаётся, и внешние условия для него меняются в очень маленьком и узком диапазоне параметров. Практически не выходящем из линейного. Хотя мы знаем, что вдали от этих параметров происходят качественные изменения и на уровне атома: ионизация, рождение электрон-позитронных пар, ядерные реакции...

Отличный пример. Вы говорите, что простые законы "кирпичиков" дают сложное поведение системы. При этом можно создать такие условия, что законы "кирпичиков" выйдут из границ своей простоты, например, начнется ионизация атомов. Но ведь при этом вещество перейдет в состояние плазмы, а плазма устроена проще, скажем, твердого тела. В последнем куча всяких эффектов: кристаллические решетки, фазовые переходы, а плазма - это скорее вырожденное состояние. Газ (в простой модели) тоже ведет себя просто, но там это вызвано отсутствием взаимодействия между частицами. Вот и получается, что система может демонстрировать сложное поведение при условии, что ее "кирпичики" взаимодействуют просто. Как только законы на микроуровне усложняются, макрокартина смазывается.

Еще раз подчекну, я пониманию, на каком несерьезном уровне находятся все эти рассуждения. Странно, что тему еще не прикрыли.

[Munin]

Part в сообщении #1023956 писал(а):

Эх, владей я математикой, я бы попробовал вывести что-то вроде "система взаимодействующих частиц допускает невырожденные движения при лагранжиане не выше такой-то степени".

Между прочим, именно такое ограничение - на степени лагранжиана - возникает в КТП при формулировке условий перенормируемости теории.

Вайнберг. Квантовая теория поля. Том 1, глава 12.

А вот с классикой, с невырожденными движениями, это не связано никак. Классика практически нечувствительна к "линейности - нелинейности" теории. Её интересует либо только локальное устройство теории, либо совсем глобальное. Например, см.
Медведев. Начала теоретической физики. Часть 1 § 10.

Part в сообщении #1023956 писал(а):

Вы говорите, что простые законы "кирпичиков" дают сложное поведение системы. При этом можно создать такие условия, что законы "кирпичиков" выйдут из границ своей простоты, например, начнется ионизация атомов.

Да, но в этот момент "сложное поведение системы" как раз заканчивается. В виде плазмы всё одинаково: и бутерброд, и кирпич, и жемчужина, и айпод.

Речь-то как раз о том, что обычное сложное поведение систем - не аргумент за линейность "кирпичиков". Они просто не выходят из узкого диапазона условий, а в нём и так - "в малом всё линейно".

[Part]

Munin в сообщении #1023985 писал(а):

Речь-то как раз о том, что обычное сложное поведение систем - не аргумент за линейность "кирпичиков".

Пожалуй, вы правы. Я понимаю, что доказывать следует не словами, а формулами, а в мои утверждения слишком туманны, и непонятно, что именно надо доказать.
Большое спасибо за интересные комментарии.

[Munin]

Ну, формул тут мало, больше "рассуждения на пальцах" :-)
Надеюсь, ссылки на литературу будут вам интересны.

[OlegML]

Прошу прощения вопрос темы затронул одну идею, которая мучает меня уже несколько лет. Надеюсь комментарии расставят для меня точки над i. И возможно это будет каким-то образом ответом на вопрос темы.
Суть в том, что кроме известных симметрий, уравнения, связывающие измеряемые величины, должны подчиняться еще одной симметрии - симметрии относительно масштабирования. Другими словами, если увеличить все измеряемые величины рассматриваемой системы в k раз уравнения, описывающие развитие системы, останутся справедливыми. Кроме того, мне кажется это утверждение вскользь упоминается в курсах физики. Попробуем применить эту симметрию. Пусть некоторая измеряемая величина $l$ однозначно определяется набором других измеряемых величин: $l=f(x_1,x_2,x_3...)$ и является непрерывной гладкой функцией этих величин. Разложим ее в ряд Тейлора в нуле и умножим все величины на $k$. Ввиду произвольности $k$ получаем, что $l$ может зависеть от остальных величин только линейно.
Однако не до конца ясным остается для меня вопрос к каким величинам мы можем применять масштабирование. Предполагаю, что уже наличие у величины единиц измерения подразумевает инвариантность законов, связывающих такие величины, относительно масштабирования. Более очевидным кажется инвариантность относительно масштабирования величин одного типа. Например если потенциал в какой-то точке однозначно определяется значениями потенциалов в некоторых других точках, то его зависимость от их значений может быть только линейная. В частности, если предположить, что потенциал в некоторой точке поля полностью определяется значениями потенциалов в точках, которые окружают рассматриваемую точку, то мы получим одно из уравнений Максвелла $\operatorname{div}(E)=0$ (в простейшей форме). Другой пример, если координаты некоторого тела однозначно определяются координатами других тел, то связь между ними может быть только линейной.
В рассмотренных примерах все величины определены на всей числовой прямой, однако есть другой пример. Расстояния в треугольниках очевидно инвариантны относительно масштабирования. Почему они не связаны линейно между собой? Ответ, потому что расстояния определены только в положительной области числовой прямой, не имеют производных в нуле и не могут быть разложены в ряд Тейлора в нуле. Зато если мы возведем их в квадрат вся изложенная математика проходит. В частности мы сразу получаем теорему косинусов (я кажется выводил) и теорему Пифагора (наверно). Таким образом получаем, что все наблюдаемые величины, определенные на всей числовой прямой связаны между собой линейно, а величины, определенные только в положительной области, по квадратичному закону.
Отмечу, что все это мои измышления, возможно есть ошибки в рассуждениях, а может кто то докажет какие-то слабые моменты. Даже страшно подумать какие можно сделать выводы если написанное справедливо.

[Oleg Zubelevich]

OlegML в сообщении #1024100 писал(а):

Ввиду произвольности $k$ получаем, что $l$ может зависеть от остальных величин только линейно.

закон всемирного тяготения вспомните

[Munin]

OlegML в сообщении #1024100 писал(а):

Суть в том, что кроме известных симметрий, уравнения, связывающие измеряемые величины, должны подчиняться еще одной симметрии - симметрии относительно масштабирования.

Есть такая, но не всегда.

OlegML в сообщении #1024100 писал(а):

Разложим ее в ряд Тейлора в нуле и умножим все величины на $k$. Ввиду произвольности $k$ получаем, что $l$ может зависеть от остальных величин только линейно.

ЛЛ-1 § 10.

Ну и кроме того, см. любую книжку про системы физических единиц.

[Part]

OlegML в сообщении #1024100 писал(а):

уравнения, связывающие измеряемые величины, должны подчиняться еще одной симметрии - симметрии относительно масштабирования. Другими словами, если увеличить все измеряемые величины рассматриваемой системы в k раз уравнения, описывающие развитие системы, останутся справедливыми.

Непонятно, что вы называете измеряемыми величинами. Если сантиметры, граммы и секунды, то их можно масштабировать и поодиночке, это просто переход к другим единицам измерения. Если же, например, в уравнении движения брошенного камня, летящего по параболе, вы масштабируете высоту и скорость, то, очевидно, уравнение нарушится. Придется заодно масштабировать и ускорение свободного падения. Но разве в подобных преобразованиях есть какое-то содержание?

Надо бы мне научиться набирать формулы...

[Part]

Я решил, что мне будет полезно подвести итог, как и что я понял из обсуждения.
Итак, началось с удивления: если природа могла использовать любые "хорошие" функции для своих законов, то почему выбор так ограничен. Я подумал, что сложные функции "не состыковались" бы друг с другом и целостной картины не получилось. То, что любая такая функция в малой окрестности выглядит как линейная я понимал с самого начала, об этом прямо написано в первом сообщении. Но мне казалось, что нужно согласовать зависимости как целое.
Munin высказал неожиданную для меня мысль - картина складывается не из самих законов, а из их действия в каждой физической ситуации. При этом сложные законы вполне могут совмещаться малыми "кусочками", в одних условиях одними, в других - другими. Образно говоря, получается мозаика с "дырками", но в этих "дырках" никто не живет.
Эта идея меня успокоила, так что пока все в порядке.