Дискретная случайная величина

[Strannik]

Доброго времени суток!

На некотором предприятии $250$ рабочих из $1000$ не имеют среднего образования. Построить ряд распределения числа рабочих, не имеющих среднего образования, среди $6$ человек, отобранных наудачу.

У меня есть два варианта:
Первый вариант

$$P\{X=m\} = \frac{C_{250}^{m} \cdot C_{750}^{6-m}}{C_{1000}^{6}}, \quad (m=0,1...6)$$

Второй вариант

$$P\{X=m\} \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \varphi \left ( \frac{m-np}{\sqrt{npq}} \right)$$

, где

$$n=1000, \quad m=0,1...6, \quad p = \frac{250}{1000} = 0.25, \quad q=0.75, \quad \varphi(x) - \text{функция Гаусса}$$

В первом варианте смущают большие числа, во втором - вероятность $p=0.25$ справедлива для $1000$ человек, но справедлива ли эта же вероятность для группы из $6$ человек?

Помогите, пожалуйста, выбрать правильный вариант.

[ewert]

Комбинаторика действительно достаточно безумна, Гаусс тут вообще не при чём. Зато это с хорошей точностью схема Бернулли.

[arseniiv]

Strannik в сообщении #1024097 писал(а):

В первом варианте смущают большие числа

Такова, к сожалению, реальность! Точнее, реальность задачи. Реальность ещё сложнее, и там уже приходится не то чтобы чем-то пренебрегать, а даже не иметь полной информации о происходящем, что куда хуже, чем в этой теме.

Ответ правильный, это гипергеометрическое распределение. А вот зачем вам второй вариант, непонятно. Хотя к предложению приблизить схемой Бернулли можно только присоединиться (заодно расскажите, почему здесь так можно).

[Strannik]

arseniiv в сообщении #1024110 писал(а):

заодно расскажите, почему здесь так можно

Так как число сотрудников достаточно велико, то при выборе одного сотрудника, вероятность выбрать нужного сотрудника, изменяется не сильно.

[arseniiv]

Как-то так, да.

[Strannik]

Благодарю вас.

[ewert]

С безумием я несколько погорячился: при всего лишь семи вариантах просчитать их честно достаточно легко. Если, конечно, не считать сами факториалы, а предварительно их сокращать.

Что же касается применимости схемы Бернулли, то да, суть именно в почти независимости извлечений. Хотя для убедительности следовало бы добавить: "ну не зря же нам подсунули такие большие цифирки -- наверное, что-то имели в виду!".

Если же по существу, то применимость надо всё-таки оценивать количественно. Здесь в наихудшем случае ($m=6$) Бернулли даёт относительную погрешность примерно 4,5%, но это относительная к самой вероятности примерно в одну четырёхтысячную. А для наиболее вероятного $m=2$ относительная погрешность будет уже примерно одна тысячная.

(процентаж прикидывал в уме; если что -- не взыщите)