Доказать свойство эллипса

[hurrdurrrderp]

Пишу диплом про для распознавание эллипсов на изображении, в одной из работ на эту тему используют свойство, изображённое на картинке: если мы возьмём две дуги, принадлежащие одному эллипсу, и обозначим их середины $O_{n,0.5}, O_{m,0.5}$, а середины отрезков, соединяющих крайние точки $C_n, C_m$, то $\lVert O_{n,0.5} O_{m, 0.5} \rVert > \lVert O_{n,0.5} C_{m} \rVert $ и $\lVert O_{n,0.5} O_{m, 0.5} \rVert > \lVert O_{m,0.5} C_{n} \rVert $ Эти неравенства прекрасно работают на практике в моей программе, но я пока не смог их доказать. Автор той статьи их никак не объясняет, называя просто curvature condition. У кого есть какие-нибудь мысли?

[DiMath]

Изображения нет. Если я правильно понял условие, то середина отрезка, соединяющая крайние точки дуги на эллипсе, лежит, очевидно, внутри него. Отложите отрезок $O_{n,0.5}O_m$ на $O_{n,0.5}O_{m,0.5}$ и всё станет ясно.

[grizzly]

DiMath в сообщении #1024027 писал(а):

и всё станет ясно

Мне пока неясно. Я представляю себе окружность с центром в начале координат. Первая дуга -- четвертушка окружности во втором квадранте, вторая -- верхняя полуокружность. Тогда $O_{n,0.5} O_{m,0.5}$ -- сторона правильного восьмиугольника, а $O_{n,0.5} C_{m}$ -- радиус окружности. Понятно, что радиус больше. Что я неправильно понял в обозначениях?

[svv]

И что изображено на картинке b? Я не вижу там двух дуг, принадлежащих одному эллипсу.

[hurrdurrrderp]

Странно, куда делось изображение, залил повторно
Я забыл главное - дуги не пересекаются.
Тут не всё так очевидно. Вот ещё картинка
(представим, что $D$ - середина дуги $AB$). Если бы это была окружность, то $DC \perp AB$, значит высота, опущенная из любой точки окружности, не принадлежащей $AB$, пересекала бы прямую $DC$ за точкой $C$, тогда очевидно, что $\lVert EC \rVert < $\lVert DC \rVert $. Но в эллипсе у нас нет этого свойства.

-- 06.06.2015, 19:37 --

svv в сообщении #1024047 писал(а):

И что изображено на картинке b? Я не вижу там двух дуг, принадлежащих одному эллипсу.

Они и не принадлежат, это пример того, где это свойство полезно при поиске эллипсов (я не рассматриваю такие пары в своей программе).

[ewert]

hurrdurrrderp в сообщении #1023981 писал(а):

их середины $O_{n,0.5}, O_{m,0.5}$, а середины отрезков, соединяющих крайние точки $C_n, C_m$, то $\lVert O_{n,0.5} O_{m, 0.5} \rVert > \lVert O_{n,0.5} C_{m} \rVert $

Это утверждение заведомо неверно для произвольных дуг, нужны какие-то ограничения. Допустим, дуги не должны пересекаться. Тогда утверждение сводится к следующему: точка вне дуги удалена от середины дуги больше, чем от середины её хорды. Это выглядело бы, в принципе, правдоподобно, если бы не один вопрос: а что, собственно, понимается под серединой дуги?...

[hurrdurrrderp]

ewert в сообщении #1024054 писал(а):

а что, собственно, понимается под серединой дуги?...

Взяли длину дуги, поделили пополам, отложили.
Т.к. я работаю с пикселями, в реальности всё чуть сложнее - я иду с двух концов дуги, и на каждые пять "диагональных" пикселей с одного конца прохожу дополнительные 7 с другого, потому что $5 \sqrt{2} \approx 7$. Где две точки встречаются, там и середина. Но это всё особенности реализации, меня интересует, правильно ли это в "идеальном" мире.
Возможно, это вообще неправильно в общем случае, просто моей программе попадались недостаточно вытянутые эллипсы. Сейчас попробую найти, насколько эллипс должен был близок к окружности, чтобы это точно работало, когда получится, отпишусь.

[ewert]

hurrdurrrderp в сообщении #1024064 писал(а):

Возможно, это вообще неправильно в общем случае,

В общем случае это, конечно, неправильно. Перекосом дуги параллельно хорде, например, вправо можно утянуть середину сколь угодно далеко вправо, сохраняя высоту дуги. И если эта высота меньше половины длины хорды, то в какой-то момент правый конец хорды окажется ближе к середине дуги, чем к середине хорды.

[svv]

Красная точка ближе к синей (середина дуги), чем к зелёной (середина хорды).

[Geen]

Как неравенства вообще могут выделить эллипс? Даже если все кривые являются частями конгруэнтных эллипсов?

Возьмём две дуги одного эллипса и одну из них чуть-чуть сместим параллельно хорде...

[ewert]

Выделить не могут, конечно; однако вполне могут послужить техническим средством, способствующим выделению.

Бог знает, что за алгоритм был в оригинальной работе (скорее всего, какой-то эмпирический, что само по себе не так уж и грешно).

-- Вс июн 07, 2015 00:11:32 --

Geen в сообщении #1024187 писал(а):

Возьмём две дуги одного эллипса и одну из них чуть-чуть сместим параллельно хорде...

Её нельзя смещать -- они должны принадлежать одному эллипсу. ТС специально оговаривал, что альтернативную картинку (которую я не помню и в которую не вдумывался) он привёл лишь для чего-то другого (в которое я тоже не вникал).

[Geen]

ewert в сообщении #1024196 писал(а):

они должны принадлежать одному эллипсу.

Так это, как раз, мы и должны установить... Разве нет?

[ewert]

Geen в сообщении #1024204 писал(а):

... Разве нет?

Не знаю. Это надо вникать в алгоритм в полном объёме; а его тут и не было, да и мне лень, даже если и был бы.

А, нет, нюанс. Если в предположении, что эти две дуги принадлежат одному эллипсу, это предположение отвергается -- то оно отвергается. Это уже содержательно.

[Geen]

ewert в сообщении #1024207 писал(а):

А, нет, нюанс. Если в предположении, что эти две дуги принадлежат одному эллипсу, это предположение отвергается -- то оно отвергается. Это уже содержательно

Кажется понял - речь вовсе не про эллипсы, а про "выпуклость в разные стороны"....