Ортогональные траектории..

[Don-Don]

Проверить -- есть ли ортогональные траектории среди семейства кривых.

$x^2-y^2+\ln(\cos(2xy))=C$

$x^2-y^2+\ln(\sin(2xy))=C$


Вообще, может я криво перевел, но задача на испанском формулируется так:
Probar que son ortogonales las siguientes familias de curvas.

Я понимаю, что у ортогональной траектории угловой коэффициент равен $y_1'=-\dfrac{1}{y_2'}$

Правильно ли я понимаю, что из первого семейства нужно выудить $y'$ (через производную функции, заданной неявно), а потом из второго семейства выудить $y'$ и проверить будет ли выполняться равенство $y_1'=-\dfrac{1}{y_2'}$?

$F(x,y)=x^2-y^2+\ln(\cos(2xy))-C$

$y'=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$

Правильно?

2) Для семейства кривых получить семейство ортогональных кривых.

$y = Ce^{2x+1}$.

$y'=2Ce^{2x+1}$

У второго семейства должно быть так $y'=-\dfrac{1}{2Ce^{2x+1}}$, решая это дифференциальное уравнение получаем семейство ортогональных кривых, правильно?

[Алексей К.]

Don-Don в сообщении #1023790 писал(а):

Вообще, может я криво перевел, но задача на испанском формулируется так:

Криво, похоже.
Если заменить похожими французскими словами, то будет "Доказать, что являются ортогональными следующие [два] семейства."

-- 05 июн 2015, 23:50:25 --

Don-Don в сообщении #1023790 писал(а):

Правильно?

Та вроде правильно.

[Don-Don]

Спасибо! Еще есть вопрос по похожей задаче.

2) Для семейства кривых получить семейство ортогональных кривых.

$y = Ce^{2x+1}$.

$y'=2Ce^{2x+1}$

У второго семейства должно быть так $y'=-\dfrac{1}{2Ce^{2x+1}}$, решая это дифференциальное уравнение получаем семейство ортогональных кривых, правильно? Там будет две константы?

[Алексей К.]

Don-Don в сообщении #1023801 писал(а):

Там будет две константы?

Нет.
В этой задачке уже надо понимать глубже все эти дела.
Возьмём, например, точку $x=0$, $y=1$. Есть в семействе кривулька, проходящая через неё?

-- 06 июн 2015, 00:06:21 --

Допустим, есть. Производную тогда как отыщем?

[ИСН]

post710381.html#p710381

[Don-Don]

Алексей К. в сообщении #1023814 писал(а):

Don-Don в сообщении #1023801 писал(а):

Там будет две константы?

Нет.
В этой задачке уже надо понимать глубже все эти дела.
Возьмём, например, точку $x=0$, $y=1$. Есть в семействе кривулька, проходящая через неё?

-- 06 июн 2015, 00:06:21 --

Допустим, есть. Производную тогда как отыщем?

Первое проходит, решение диффура будет: $y=-\dfrac{1}{4Ce^{2x+1}}+С$

[svv]

Don-Don
Мне кажется, Вы не понимаете такой вещи.
Задавая значение $C$, Вы выбираете определённую кривую из первого семейства.
Гуляя по этой кривой и не перепрыгивая на другую, Вы будете иметь постоянное $C$.
Но двигаясь по кривой второго семейства, Вы пересекаете одну кривую за другой из первого семейства, следовательно, $C$ больше не будет константой. Оно всё время будет соответствовать той кривой первого семейства, которую Вы сейчас пересекаете.
Считая, что $C$ константа, когда на самом деле оно зависит от точки на кривой второго семейства, Вы получаете неверное решение ДУ.
С таким свойством от $C$ лучше вообще избавиться в самом начале.

[Lia]

Don-Don
Замечание за дублирование темы из Карантина.

Могли бы ее и прочитать, кстати, прежде чем дублировать еще раз неправильно.

[Don-Don]

Lia в сообщении #1023847 писал(а):

Don-Don
Замечание за дублирование темы из Карантина.

Могли бы ее и прочитать, кстати, прежде чем дублировать еще раз неправильно.

Извиняюсь, ок

-- 06.06.2015, 03:45 --

svv в сообщении #1023837 писал(а):

Don-Don
Мне кажется, Вы не понимаете такой вещи.
Задавая значение $C$, Вы выбираете определённую кривую из первого семейства.
Гуляя по этой кривой и не перепрыгивая на другую, Вы будете иметь постоянное $C$.
Но двигаясь по кривой второго семейства, Вы пересекаете одну кривую за другой из первого семейства, следовательно, $C$ больше не будет константой. Оно всё время будет соответствовать той кривой первого семейства, которую Вы сейчас пересекаете.
Считая, что $C$ константа, когда на самом деле оно зависит от точки на кривой второго семейства, Вы получаете неверное решение ДУ.
С таким свойством от $C$ лучше вообще избавиться в самом начале.

А как от нее избавиться в начале, что-то не пойму...

-- 06.06.2015, 03:48 --

Вот так что ли? $y = Ce^{2x+1}$, $C=\dfrac{y}{e^{2x+1}}$

$y'=2y$

Далее решаем диффур $\dfrac{-1}{y'}=2y$. Так будет верно?

[svv]

Да, так верно.
Слегка доработаю напильником.
Для кривой первого семейства пишем просто: $y' = 2Ce^{2x+1}=2y$ (ведь $Ce^{2x+1}=y$).
Следовательно, для кривой второго семейства $y'=-\frac 1 {2y}$ , или $2yy'=-1$.
Что Вам напоминает левая часть последнего уравнения? Догадаетесь — практически решите.

[ewert]

svv в сообщении #1023918 писал(а):

Догадаетесь — практически решите.

Зачем гадать, если это уравнение с разделяющимися переменными (с ровно тем же эффектом, что и при гадании).