2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Цепочка подпространств
Сообщение29.05.2015, 21:45 
Рассматриваются линейно упорядоченные по включению множества подпространств линейного пространства $L$. Будет ли мощность любого максимального такого множества равна (алгебраической) размерности пространства $L$?
Для вполне упорядоченных множеств, вроде бы, это верно.

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение29.05.2015, 22:04 
ivvan в сообщении #1021269 писал(а):
линейно упорядоченные

ivvan в сообщении #1021269 писал(а):
вполне упорядоченных


pardon, за наверное групый вопрос, а в чем разница?

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение29.05.2015, 22:11 
Например, целые числа (с естественным порядком) линейно упорядочены, но не вполне упорядочены. Вполне упорядоченность требует ещё и наличие наименьшего элемента в любом непустом подмножестве.

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение30.05.2015, 02:08 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Думаю, что Oleg Zubelevich имел в виду данный конкретный случай. Он не похож на человека, не знающего разницы между линейным и полным порядком.

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение30.05.2015, 02:58 

(Оффтоп)

А-а-а. Я почему-то подумал, что вполне упорядоченные сравниваются с линейными пространствами. :facepalm:

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение30.05.2015, 03:45 
Аватара пользователя
ivvan в сообщении #1021269 писал(а):
Будет ли мощность любого максимального такого множества равна (алгебраической) размерности пространства $L$?


Возьмите любое пространство со счетным базисом Гамеля (они все изоморфны), пронумеруйте рациональными числами и рассмотрите цепочку подпространств, являщихся линейными оболочками интервалов $(-\infty,a]\cap\mathbb Q$, где $a\in \mathbb R$. Проще говоря, дедекиндовы сечения. Там будет континуум подпространств.

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение31.05.2015, 20:12 
g______d в сообщении #1021401 писал(а):
Возьмите любое пространство со счетным базисом Гамеля (они все изоморфны), пронумеруйте рациональными числами и рассмотрите цепочку подпространств, являщихся линейными оболочками интервалов $(-\infty,a]\cap\mathbb Q$, где $a\in \mathbb R$.
Чтобы получить максимальную цепочку, нужно добавить оболочку векторов из $(-\infty,a)\cap\mathbb Q$, я правильно понимаю?

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение31.05.2015, 20:14 
Аватара пользователя
Да, такие тоже надо добавить.

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение31.05.2015, 20:25 
Возьмём по вектору из всех непустых множеств $U_\alpha\setminus\bigcup_{U_\beta\subset U_\alpha}U_\beta$. Полученная система линейно независима. Будет ли она составлять базис?

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение05.06.2015, 16:27 
ivvan в сообщении #1021978 писал(а):
Будет ли она составлять базис?
Не знаю, как разрешить этот вопрос. Стоит ли задать его на StackExchange?

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение06.06.2015, 00:50 
Аватара пользователя
ivvan в сообщении #1021978 писал(а):
Будет ли она составлять базис?


Опять, возьмем пространство со счетным базисом Гамеля $\{e_n\}_{n\in \mathbb Z}$, и пусть $U_n$ — линейная оболочка $\{e_k\}_{k\le n}$. В качестве векторов возьмем $e_n+e_{n-1}\in U_n\setminus U_{n-1}$. Будет ли это набор векторов базисом? Мне кажется, что нет.

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение06.06.2015, 16:19 
Да, всё верно. А я уже поспешил задать вопрос в другом месте.
g______d, я могу попробовать перевести ваш ответ и опубликовать? Как можно сослаться? Или вы сами напишете?

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение07.06.2015, 01:25 
Аватара пользователя
ivvan в сообщении #1023996 писал(а):
я могу попробовать перевести ваш ответ и опубликовать? Как можно сослаться?


Можете просто написать "на форуме dxdy.ru было предложено такое-то решение".

 
 
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение16.06.2015, 20:13 
Рассмотрим для линейного пространства $L$ с базисом $\{e_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{R}}$ цепочку $\dots\subset L_{n-1}\subset L_n\subset L_{n+1}\subset\dots$, где $L_n=\operatorname{Sp}(\{e_\alpha\}_{\alpha<n+1}\cup\{e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n-1}\alpha^ke_{[\alpha]-k}\}_{\alpha>n+1,\alpha\notin\mathbb{Z}})$.
Если $v=\sum v_{\alpha_i} e_{\alpha_i}\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{Z}}L_n$, то $v_{m-k}=\sum\limits_{\alpha_i\notin\mathbb{Z}}\alpha_i^{[\alpha_i]-m+k} v_{\alpha_i}=0, k\in\mathbb{N}$, где $m=\min\{[\alpha_i]\}$. Полученные уравнения составляют систему относительно $v_{\alpha_i},\alpha_i\notin\mathbb{Z}$, не имеющую ненулевого решения. Поэтому $v=\sum v_{n_j}e_{n_j}, n_j\in\mathbb{Z}$. Но т.к. $v\in L_{m-1}$, то и $v_{n_j}=0$. Таким образом, $\bigcap L_n={0}$.
Равенство $\bigcup L_n=L$ очевидно.
Если $L_{n-1}\subset M\subseteq L_n$, то для произвольного $v\in M\setminus L_{n-1}$ будет $v=\sum\limits_\alpha v_\alpha e_\alpha$, где $v_k=\sum\limits_{\alpha>k,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-k}v_\alpha, k>n$ и $v_n\neq\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha$, и тогда $$e_n=(v_n-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha)^{-1}(v-\sum\limits_{\alpha<n}v_\alpha e_\alpha-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}v_\alpha(e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n}\alpha^ke_{[\alpha]-k}))\in M,$$ откуда $L_n\subseteq M$.
Таким образом, расссмотренная цепочка максимальна, причем $|\{L_n\setminus L_{n-1}\}|\neq \operatorname{dim}L$.

Верны ли рассуждения выше?

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group