Рассмотрим для линейного пространства

с базисом

цепочку

, где
![$L_n=\operatorname{Sp}(\{e_\alpha\}_{\alpha<n+1}\cup\{e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n-1}\alpha^ke_{[\alpha]-k}\}_{\alpha>n+1,\alpha\notin\mathbb{Z}})$ $L_n=\operatorname{Sp}(\{e_\alpha\}_{\alpha<n+1}\cup\{e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n-1}\alpha^ke_{[\alpha]-k}\}_{\alpha>n+1,\alpha\notin\mathbb{Z}})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/6/836b673190921017abd5effe47da7f1b82.png)
.
Если

, то
![$v_{m-k}=\sum\limits_{\alpha_i\notin\mathbb{Z}}\alpha_i^{[\alpha_i]-m+k} v_{\alpha_i}=0, k\in\mathbb{N}$ $v_{m-k}=\sum\limits_{\alpha_i\notin\mathbb{Z}}\alpha_i^{[\alpha_i]-m+k} v_{\alpha_i}=0, k\in\mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/5/aa5f7b745e837ae0629266d03d79e7db82.png)
, где
![$m=\min\{[\alpha_i]\}$ $m=\min\{[\alpha_i]\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/5/5f5e1c2cd8a66d661e5d448664d2745582.png)
. Полученные уравнения составляют систему относительно

, не имеющую ненулевого решения. Поэтому

. Но т.к.

, то и

. Таким образом,

.
Равенство

очевидно.
Если

, то для произвольного

будет

, где
![$v_k=\sum\limits_{\alpha>k,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-k}v_\alpha, k>n$ $v_k=\sum\limits_{\alpha>k,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-k}v_\alpha, k>n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/6/266970382eb96b75f9f2505c1f71502682.png)
и
![$v_n\neq\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha$ $v_n\neq\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/8/fa87eb6adc416a2f5b4c02b45f8a8b9a82.png)
, и тогда
![$$e_n=(v_n-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha)^{-1}(v-\sum\limits_{\alpha<n}v_\alpha e_\alpha-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}v_\alpha(e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n}\alpha^ke_{[\alpha]-k}))\in M,$$ $$e_n=(v_n-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha)^{-1}(v-\sum\limits_{\alpha<n}v_\alpha e_\alpha-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}v_\alpha(e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n}\alpha^ke_{[\alpha]-k}))\in M,$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/0/3506d1998975c97b4be55efabc08d72882.png)
откуда

.
Таким образом, расссмотренная цепочка максимальна, причем

.
Верны ли рассуждения выше?