Где почитать про топологические многообразия?

[Anton_Peplov]

Заинтересовался понятием топологического многообразия (с общей топологией в объеме Виро, Иванова и К знаком). Стал искать литературу и наткнулся на любопытную ситуацию. В учебниках, озаглавленных в духе "Общая топология", понятие многообразия не вводится вообще (даже в пудовом Энгелькинге и двухпудовом Куратовском). Допускаю, что так и надо, и общая топология вообще не про многообразия. Поиск же по самому термину "многообразие" выводит на учебники по дифференциальной топологии/геометрии, где биекции, отображающие окрестности точек многообразия в $\mathbb{R}^n$, сразу предполагаются дифференцируемыми. И мелким шрифтом сноска: мол, они могут быть не дифференцируемыми, а просто непрерывными, и тогда многообразие называется не гладким, а топологическим, но нам это не интересно. Допускаю, что так и надо, ибо в курсе "дифференциальное имярек" странно было бы рассматривать что-то недифференцируемое. Но... Где же эти топологические многообразия без требования дифференцируемости рассматриваются-то?

Теоретически допускаю, что чтобы интересоваться этим вопросом, нужно быть полным... эээ... странным человеком, но вот я такой и есть. Мне просто хочется понять, какие теоремы доказываются для топологических многообразий вообще, а какие добавляются с условием дифференцируемости. Теоретически можно было бы взять курс по дифтопологии и внимательно проработать доказательства теорем на предмет, где бы можно было бы без этого условия обойтись, но мне себя жалко. Не могет же быть, чтобы не было одной завалящей кижечки! Не претендую на то, чтобы она была вся про топологические многообразия (еще чего, я такое и не осилю). Мне бы страниц 10-50, основные свойства и теоремы.

Темы форума, посвященные поиску литературы, просмотрел, ничего похожего не обнаружил. Так что всем подсказавшим отдельное горячее спасибо заранее.

[пианист]

Anton_Peplov в сообщении #1023759 писал(а):

какие теоремы доказываются для топологических многообразий вообще, а какие добавляются с условием дифференцируемости

Есть, например, сферы Милнора. Нечто в эту сторону.

[g______d]

В почти любой книжке по алгебраической топологии около главы "двойственность Пуанкаре". Например, Hatcher "Algebraic Topology", Дольд "Лекции по алгебраической топологии" (там целая глава про многообразия), Спеньер "Алгебраическая топология", тысячи их.

[Brukvalub]

Lee,J M Introduction To Topological Manifold Graduate Text In Mathematics 202.

[Anton_Peplov]

g______d
Ага, то есть это понятие алгебраической топологии? Почему-то был уверен, что общей (т.е. теоретико-множественной).

Brukvalub
Спасибо, но по-английски я читаю только при крайней необходимости. Тяжело у меня с английским.

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1023783 писал(а):

Brukvalub
Спасибо, но по-английски я читаю только при крайней необходимости. Тяжело у меня с английским.

Преодолевайте ваше отставание в английском, поскольку сейчас горы к Магомету не ходят бОльшая часть современной математической литературы написана по-английски. В России писать математические учебники и монографии нет смысла - труда много, а заработать на жизнь на этом невозможно.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1023783 писал(а):

Ага, то есть это понятие алгебраической топологии? Почему-то был уверен, что общей (т.е. теоретико-множественной).

Я думаю, что конкретно в этом вопросе деление весьма условно, но в алгебраической топологии почти всегда изучаются не произвольные пространства, а склеенные из каких-то кусков -- симплициальные, клеточные, CW-комплексы. Топологические многообразия сюда тоже естественно вписываются.

Причина в том, что основные понятия (фундаментальная группа, высшие гомотопические группы, группы гомологий, гомотопия, гомотопическая эквивалентность) так или иначе связаны с отображениями между пространствами и чем-то, похожим на $\mathbb R^n$; например, фундаментальная группа -- это отображения из отрезка в пространство и т. п. Если само пространство вообще никакого отношения к $\mathbb R^n$ не имеет и никаким боком на него не похоже, то непонятно, что ожидать от такого отображения.

[Anton_Peplov]

g______d
Спасибо. Буду читать.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1023792 писал(а):

Спасибо. Буду читать.

Hatcher, кстати, переведён на русский.

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #1023788 писал(а):

бОльшая часть современной математической литературы написана по-английски.

Про современную не спорю. Но мне-то нужны азы, основные понятия, а в топологии это, насколько я понимаю, материал середины века. Так что пласта изданной еще в СССР литературы должно хватить.