2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определитель со строками P(a_i)
Сообщение04.06.2015, 19:58 


07/04/15
244
Не развертывая определителя, доказать тождество:

$$
\begin{vmatrix}
1 &  a_1& a^2_1 & \dots   &a^{n-2}_1  & a^n_1 \\
1 &  a_2& a^2_2 & \dots   &a^{n-2}_2  & a^n_2 \\\dots & \dots & \dots &\dots   &\dots   &\dots  \\ 
1 &  a_n& a^2_n & \dots   &a^{n-2}_n  & a^n_n
\end{vmatrix} =
(a_1+\dots+a_n)
\begin{vmatrix}
1 &  a_1& a^2_1 & \dots   &a^{n-2}_1  & a^{n-1}_1 \\
1 &  a_2& a^2_2 & \dots   &a^{n-2}_2  & a^{n-1}_2 \\
\dots & \dots & \dots &\dots   &\dots   &\dots  \\ 
1 &  a_n& a^2_n & \dots   &a^{n-2}_n  & a^{n-1}_n
\end{vmatrix} 
$$

Подскажите, как действовать, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель со строками P(a_i)
Сообщение04.06.2015, 20:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
2old в сообщении #1023423 писал(а):
Подскажите, как действовать, пожалуйста.

Для начала исправить формулу: одного из Ваших двух определителей не бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель со строками P(a_i)
Сообщение04.06.2015, 20:15 


07/04/15
244
ewert
Так они оба $n\times n$ один из другого заменой последнего столбца, например для $2$
$$\begin{vmatrix}
1 & a_1^2 \\ 
1 & a_2^2
\end{vmatrix}
=
(a_1+a_2)
\begin{vmatrix}
1 & a_1 \\ 
1 & a_2
\end{vmatrix}
$$

-- 04.06.2015, 21:38 --

Вроде бы приблизился, но где-то ошибаюсь.
Рассмотрим определитель как многочлен степени $n$ от $a_n$, значит с учетом кратности, будет $n$ корней. $n-1$ корней будут $a_{n-1},\dots , a_{1}$, т.к. будут одинаковые строки.
Коэффициент при $a^{n-1}_n$ нулевой. Значит сумма всех корней равна нулю. Тогда последний корень будет $-(a_1+\dots+a_{n-1})$

Не могу понять, как справа теперь получить "$-$"

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель со строками P(a_i)
Сообщение04.06.2015, 20:48 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Так всё, вы решили! Справа определитель, как полином от $a_n$, будет иметь $n-1$ таких же корней $a_{n-1}, a_n,...,a_1$, и это все его корни. Так разложите теперь определители справа и слева на множители, как многочлены от $a_n$! Последний корень многочлена слева при разложении и даст множитель $(a_n-(-(a_1+...+a_{n-1})))=(a_1+...+a_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель со строками P(a_i)
Сообщение04.06.2015, 20:54 


07/04/15
244
NSKuber
Блин, да, я как-то мимо просвистел что в скобке будет $a_n-(-\dots))$ Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель со строками P(a_i)
Сообщение04.06.2015, 22:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Я бы предложил оформить это чуть регулярнее, да и общЕе: рассмотреть коэффициенты и корни многочлена
$P_n(x)= \begin{vmatrix} 1 & x& x^2 & \dots &x^{n-1} & x^n \\  1 & a_1& a^2_1 & \dots &a^{n-1}_1 & a^n_1 \\ 1 & a_2& a^2_2 & \dots &a^{n-1}_2 & a^n_2 \\\dots & \dots & \dots &\dots &\dots &\dots \\ 1 & a_n& a^2_n & \dots &a^{n-1}_n & a^n_n \end{vmatrix}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group