Определитель со строками P(a_i)

[2old]

Не развертывая определителя, доказать тождество:

$$ \begin{vmatrix} 1 & a_1& a^2_1 & \dots &a^{n-2}_1 & a^n_1 \\ 1 & a_2& a^2_2 & \dots &a^{n-2}_2 & a^n_2 \\\dots & \dots & \dots &\dots &\dots &\dots \\ 1 & a_n& a^2_n & \dots &a^{n-2}_n & a^n_n \end{vmatrix} = (a_1+\dots+a_n) \begin{vmatrix} 1 & a_1& a^2_1 & \dots &a^{n-2}_1 & a^{n-1}_1 \\ 1 & a_2& a^2_2 & \dots &a^{n-2}_2 & a^{n-1}_2 \\ \dots & \dots & \dots &\dots &\dots &\dots \\ 1 & a_n& a^2_n & \dots &a^{n-2}_n & a^{n-1}_n \end{vmatrix} $$

Подскажите, как действовать, пожалуйста.

[ewert]

2old в сообщении #1023423 писал(а):

Подскажите, как действовать, пожалуйста.

Для начала исправить формулу: одного из Ваших двух определителей не бывает.

[2old]

ewert
Так они оба $n\times n$ один из другого заменой последнего столбца, например для $2$

$$\begin{vmatrix} 1 & a_1^2 \\ 1 & a_2^2 \end{vmatrix} = (a_1+a_2) \begin{vmatrix} 1 & a_1 \\ 1 & a_2 \end{vmatrix} $$

-- 04.06.2015, 21:38 --

Вроде бы приблизился, но где-то ошибаюсь.
Рассмотрим определитель как многочлен степени $n$ от $a_n$, значит с учетом кратности, будет $n$ корней. $n-1$ корней будут $a_{n-1},\dots , a_{1}$, т.к. будут одинаковые строки.
Коэффициент при $a^{n-1}_n$ нулевой. Значит сумма всех корней равна нулю. Тогда последний корень будет $-(a_1+\dots+a_{n-1})$

Не могу понять, как справа теперь получить "$-$"

[NSKuber]

Так всё, вы решили! Справа определитель, как полином от $a_n$, будет иметь $n-1$ таких же корней $a_{n-1}, a_n,...,a_1$, и это все его корни. Так разложите теперь определители справа и слева на множители, как многочлены от $a_n$! Последний корень многочлена слева при разложении и даст множитель $(a_n-(-(a_1+...+a_{n-1})))=(a_1+...+a_n)$.

[2old]

NSKuber
Блин, да, я как-то мимо просвистел что в скобке будет $a_n-(-\dots))$ Спасибо!

[ewert]

Я бы предложил оформить это чуть регулярнее, да и общЕе: рассмотреть коэффициенты и корни многочлена
$P_n(x)= \begin{vmatrix} 1 & x& x^2 & \dots &x^{n-1} & x^n \\ 1 & a_1& a^2_1 & \dots &a^{n-1}_1 & a^n_1 \\ 1 & a_2& a^2_2 & \dots &a^{n-1}_2 & a^n_2 \\\dots & \dots & \dots &\dots &\dots &\dots \\ 1 & a_n& a^2_n & \dots &a^{n-1}_n & a^n_n \end{vmatrix}$