векторы и ковекторы

[g______d]

Munin в сообщении #1022986 писал(а):

Если сказать "лагранжева механика" или "гамильтонова механика" (или "ньютоновская" - тут не уверен), оговорить упоминаемые виды связей, диссипативные силы, удары и прочее тому подобное, то после $n$ таких оговорок получится, наверное, математическая теория.

Хорошо, значит, в таком смысле и понимаю. Я не призываю других обязательно понимать этот термин так же, просто поясняю, в каком контексте считаю сказанное мной верным.

[Munin]

g______d в сообщении #1022989 писал(а):

Хорошо, значит, в таком смысле и понимаю.

Вот только это не смысл, это всего лишь намёк на смысл. И если для классической механики он реализуется достаточно легко и просто, то для квантовой - гораздо сложнее.

-- 03.06.2015 09:53:39 --

И повторяю, вот этот вот узкий смысл:

g______d в сообщении #1022982 писал(а):

Почти вся КМ -- это спектральная теория самосопряжённых (и унитарных) операторов в гильбертовых пространствах. Причём даже не произвольных операторов, а оператора Шрёдингера ($-\Delta+V$) и связанных с ним.

- физиков мало интересует!

Для физиков это мелкий этап, который надо пробежать бегом, чтобы пойти к реальным физическим задачам:
- задачи связанных состояний и рассеяния, имеющие прямую экспериментальную интерпретацию;
- задачи измерения;
- задачи статистической физики;
- задачи релятивистской области;
- задачи КТП.
Может быть, что-то забыл.

-- 03.06.2015 10:13:27 --

P. S. Проблема ещё в том, кажется, что математики склонны воспринимать КМ как wave mechanics, и на её основе строить всё остальное. Для физиков всё наоборот: главным смыслом КМ является matrix mechanics, и invariant point of view. Физики редко имеют дело в эксперименте с wave mechanics, зато часто - с энергией, импульсом, несколькими другими наблюдаемыми (прежде всего, момент импульса, и пожалуй, (групповая) скорость). Обсуждать wave mechanics им приятно, поскольку это даёт "образ физической реальности", но не более того: они прибегают к wave mechanics именно для простоты, и если там, наоборот, начинаются сложности, то это прибежище теряет смысл.

-- 03.06.2015 10:21:31 --

Произнесу это отдельно, чётко и внятно: если возникают какие угодно сложности с wave mechanics, то физик предпочтёт отказаться от любой части этой интерпретации, лишь бы сохранить (пусть неполный) изоморфизм с matrix mechanics, и прямую экспериментальную интерпретацию, и возможность теоретических расчётов из неё и в неё.

Пример: есть сложности с разрывными функциями, имеющими дельта-образные обобщённые производные? К чёрту разрывные функции, всё равно это всего лишь математическая абстракция, а в реальности все функции $C^\infty$-непрерывны, и речь идёт не более чем об аппроксимации разрыва такими непрерывными функциями. Есть сложности с убыванием на бесконечности? К чёрту неубывающие на бесконечности функции, всё равно это всего лишь математическая абстракция, непонятно даже для чего нужная, а в реальности все волновые функции реальных частиц ограничены размерами экспериментальной установки, а за её пределами - имеют пренебрежимо малую долю вероятности, не влияющую на экспериментальные измерения.

[g______d]

Так и представляю себе, как кто-нибудь лет 150 назад говорит теми же словами про гамильтонову механику. Если теория формализуема математически, я уверен, что рано или поздно она войдёт в обязательную программу теоретической физики.

И не думаю, что есть какие-то серьёзные проблемы со сложностью. Я довольно хорошо себе представляю уровень теорпотока физических факультетов приличных российских университетов, и у большинства их студентов уж точно не будет проблем ответить на вопрос, принадлежит ли функция Дирихле пространству $L^2[0,1]$ и т. п.

Munin в сообщении #1022991 писал(а):

К чёрту разрывные функции, всё равно это всего лишь математическая абстракция, а в реальности все функции $C^\infty$-непрерывны, и речь идёт не более чем об аппроксимации разрыва такими непрерывными функциями.

Это усложнение. Пример. Проще один раз понять, что означает в данной модели конкретная разрывная функция, чем каждый раз произносить слова про аппроксимацию и каждый раз оценивать скорость этой аппроксимации. Да, вы можете каждый раз вместо слов "$\delta$-функция" проговаривать определение $\delta$-образной последовательности, и иногда это даже будет полезно. Но как только вы выучите язык обобщённых функций, ресурсы мозга, отвечающие за проговаривание длинных определений, освободятся для чего-то действительного важного. Если от выбора конкретной $\delta$-образной последовательности ответ не зависит, то, очевидно, правильной моделью будет та, в которой этой последовательности вообще нет.

[Oleg Zubelevich]

По-моему ,после того как построена корректная модель (существование ,единственнсть ,непрерывная зависимость) ,а для уравнения Шредингера она построена, задачи в рамках этой модели должны ставиться и решаться на математическом уровне строгости

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023045 писал(а):

после того как построена корректная модель (существование ,единственнсть ,непрерывная зависимость)... задачи в рамках этой модели должны ставиться и решаться на математическом уровне строгости

Виноват, не удержался. А расчет автомобильного турбонагнетателя, половина лопатки которого движется с дозвуковой, а половина - со сверхзвуковой скоростью, ротор которого плавает на масляном клине и объем газов зависит сложным образом от количества выпитого водителем пива тоже на математическом уровне строгости производить надо - задача-то механическая?

[Oleg Zubelevich]

Вы просто невнимательно прочитали, ч о я на писал

[amon]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1023060 писал(а):

Вы просто невнимательно прочитали, ч о я на писал

Возможно. А возможно Вы не поняли, что я хотел сказать. А хотел сказать вот что. Меня когда-то учили всей этой премудрости, и Бирман-Соломяк стоит на полке укором. Премудрость в моем захудалом хозяйстве потребовалась один раз за всю жизнь, и то не уверен что без нее было никак. В физике очень мало "чистых" задач, и все какие появляются, тут же утекают в математику (стоящий на голове маятник - сравним кривое решение из Ландау и изящное Арнольда). Поэтому пока мы, сирые, от куска исследуемой грязи доберемся до уравнения Шредингера (а его-то мы решим, это натыркались, а если что криво пойдет - спросим у математиков), мы сделаем такое количество "смелых" предположений и упрощений, что после этого бороться за математическую чистоту Шредингеровской задачи - тоже, что соблюдать стерильность в пепельнице ассенизаторской машины. Я тоже за то, что бы детям на физических специальностях объясняли разницу между симметричным и самосопряженным оператором (сейчас не объясняют), но делать это надо как-то без фанатизма. В этом смысле критикуемая статья мне нравится.

[Munin]

g______d в сообщении #1023007 писал(а):

Да, вы можете каждый раз вместо слов "$\delta$-функция" проговаривать определение $\delta$-образной последовательности, и иногда это даже будет полезно. Но как только вы выучите язык обобщённых функций, ресурсы мозга, отвечающие за проговаривание длинных определений, освободятся для чего-то действительного важного. Если от выбора конкретной $\delta$-образной последовательности ответ не зависит, то, очевидно, правильной моделью будет та, в которой этой последовательности вообще нет.

Вот это вопрос тонкий.

Во-первых, нужно ли освобождать эти ресурсы мозга? Математикам типа вас - нужно. А физикам? А у физиков они и так не были этим загружены, потому что они занимаются другими задачами. Математика для них - инструмент, и физики "учат язык обобщённых функций" постольку, поскольку им надо считать и интегрировать функции Грина. То есть, по факту они проговаривают это определение один раз, когда понятие функции Грина вводят. Вот функции Грина - полезная штука, поскольку непосредственно в экспериментах измеряются. Плюс, на их языке ещё куча теормоделей работает.

Во-вторых, а нужно ли физику забывать о выборе конкретной $\delta$-образной последовательности? Для математика всё просто: ответ не зависит. А физик никогда в этом не уверен. Эксперимент может показать что-то иное. А ответ должен совпадать с экспериментом, а не с "правильной моделью, освобождающей ресурсы мозга".

----------------

Вы меня убедите в необходимости копаться во всех этих тонкостях, если продемонстрируете, как они на практике влияют на что-то важное. Например, на наблюдаемые параметры модели Изинга, или на энергию вакуума квантуемого поля (да и тут я ещё усомнюсь).

-- 03.06.2015 15:48:29 --

amon в сообщении #1023072 писал(а):

до уравнения Шредингера (а его-то мы решим, это натыркались, а если что криво пойдет - спросим у математиков)

Причём, если математики ответят it depends, и схвативши за галстук, начнут яростно объяснять, от чего именно depends, то мы машем рукой и идём обратно к куску грязи - рассматривать его с другой стороны и делать другие предположения и упрощения.

----------------

Для меня во всех этих разговорах за последнее время было произнесено только одно важное сообщение: что выбор функционального пространства - это то же самое, что задание граничных условий. Это я понимаю. Это я уважаю.

-- 03.06.2015 15:51:14 --

Из ЛС с разрешения автора:

amon писал(а):

В конце концов, строгость - сильная сторона математики, а умение обходиться без нее - сильная сторона теор. физики.

[Oleg Zubelevich]

amon в сообщении #1023072 писал(а):

мы сделаем такое количество "смелых" предположений и упрощений,

вот именно для этого и существует понятие "коррктность". Если после всех Ваших смелых упрощений задача окажется корректной, то этим упрощения и будут опправданны. Т.к. корректность подразумевает, что выброшенные Вами по ходу дела всякие малые поправки не могут сильно повлиять на результат. А если задача не является математически корректной, то и физически она бессмысленна, ровно по тем же причинам

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023094 писал(а):

Если после всех Ваших смелых упрощений задача окажется корректной

Что мне Вам рассказывать, Вы же механикой увлекаетесь. Если задача стала некорректной, то это, в большинстве случаев, сразу глазом видно - фигня какая-то получается. Поэтому на "физическом" уровне строгости это отметается сразу по критерию (плохо формализуемому) фигня-не фигня. С другой стороны, если следить за математической корректностью, то и квантовой механики бы не было, поскольку квантово-механическое значение сечения рассеяния в кулоновском потенциале не должно совпадать с классической формулой Резерфорда - квазиклассика для Кулона не работает. Физики на это наплевали, а математики потом доказали, что по мистическим причинам квазиклассика не работает, но ответы совпадают.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023094 писал(а):

вот именно для этого и существует понятие "коррктность". Если после всех Ваших смелых упрощений задача окажется корректной, то этим упрощения и будут опправданны.

Не-а. Не вся оправданность укладывается в это ваше математическое (я ведь правильно понял?) понятие корректности. Есть ещё и соответствие реальности.

Oleg Zubelevich в сообщении #1023094 писал(а):

А если задача не является математически корректной, то и физически она бессмысленна, ровно по тем же причинам

И снова не-а. Физически задача может быть вполне осмысленной - только это другая задача, не та, которую вы восстанавливаете "обратным переводом" из математической. И именно эта физическая задача - физиков интересует.

[g______d]

Munin в сообщении #1023090 писал(а):

Для меня во всех этих разговорах за последнее время было произнесено только одно важное сообщение: что выбор функционального пространства - это то же самое, что задание граничных условий. Это я понимаю. Это я уважаю.

It depends Скажем так, если у вас задача квантовой механики во всем пространстве, без каких-то стенок, — то выбор пространства там только один, это $L^2(\mathbb R^3)$.

amon в сообщении #1023072 писал(а):

Поэтому пока мы, сирые, от куска исследуемой грязи доберемся до уравнения Шредингера

А добраться до уравнения Шредингера — разве предмет квантовой механики?

amon в сообщении #1023072 писал(а):

а его-то мы решим, это натыркались, а если что криво пойдет - спросим у математиков

Задача "дан потенциал, найти спектр", по-моему, осмыслена и физически, и математически (я, правда, не уверен, насколько в тему я написал эту фразу).

Munin в сообщении #1023090 писал(а):

Вы меня убедите в необходимости копаться во всех этих тонкостях, если продемонстрируете, как они на практике влияют на что-то важное. Например, на наблюдаемые параметры модели Изинга, или на энергию вакуума квантуемого поля (да и тут я ещё усомнюсь).

Квазикристаллы. Правда, я не уверен, что сейчас смогу что-то точное про них сказать. Но там довольно нетривиальная спектральная теория, выводы которой можно как-то проверить.

amon в сообщении #1023072 писал(а):

Я тоже за то, что бы детям на физических специальностях объясняли разницу между симметричным и самосопряженным оператором (сейчас не объясняют), но делать это надо как-то без фанатизма.

Ну кстати есть довольно красивый раздел (раз уж Вы ссылаетесь на БС, то это глава 10) про полуограниченные формы. Это способ сразу построить самосопряженный оператор по функционалу энергии; симметричные операторы для этого знать не обязательно. Очевидная физическая интерпретация тоже имеется.

[amon]

g______d в сообщении #1023197 писал(а):

А добраться до уравнения Шредингера — разве предмет квантовой механики? ... Задача "дан потенциал, найти спектр", по-моему, осмыслена и физически, и математически

Как-то далеко от основной темы ушли, но опять не могу удержаться. Все задачи типа "дан потенциал, найти спектр" решены классиками естествознания и собраны в задачниках. Как любил говорить один из моих учителей: "Хочется сделать что-то простое, и всем нужное, а получается сложное, и никому не нужное. Это потому, что все простое уже сделано!". Типичная теор.физ. деятельность средней руки выглядит примерно так. Померили коэффициент поглощения ультразвука в кристалле и выяснили, что если примесь - Cu, то есть пичок при низких температурах, а если Mn, то нет (все условно, всерьез это не надо воспринимать). Вспомнили, что есть такой эффект Яна-Теллера, известный для молекул CH${}_4$, и решили его туда присобачить. Для этого, с помощью квазиклассики, теории групп, введения эффективных переменных, смешивающих фононные и электронные координаты, камлания и бития в бубен получили гамильтониан вида (шляпки над операторами не пишу) $H=\left(\frac{p^2}{2m}+\frac{\omega^2r^2}{2}\right)I+\sigma_xx+\sigma_yy,$ где $I$ - единичная матрица 2х2, а $\sigma$ - матрицы Паули. После бубна сил на аккуратное исследование возникшей спектральной задачи уже не остается, поэтому она решается в квазиклассике и на компьютере, ответы сравниваются, и если в пределах применимости квазиклассики они похожи, задача считается решенной.

Я это к тому, что когда в теор.физике получили наконец уравнение Шредингера, то задача уже считается практически решенной, и самосопряженностью ни кто не заморачивается. Так что добраться до уравнения Шредингера или чего-то на него похожего, - предмет, если не квантовой механики, то теор.физики, а задача "дан потенциал, найти спектр" считается в каком-то смысле тривиальной.
Спасибо за ссылку, посмотрю. И попытаюсь больше не флудить здесь.

[Munin]

g______d в сообщении #1023197 писал(а):

Скажем так, если у вас задача квантовой механики во всем пространстве, без каких-то стенок, — то выбор пространства там только один, это $L^2(\mathbb R^3)$

А почему не $\mathcal{S}(\mathbb R^3)$? Мне оно понравилось. Очень физичное.

(Потому что на самом деле всё упирается в квазиклассику, или если не в неё - то во всякие заумности типа суперотбора.)

g______d в сообщении #1023197 писал(а):

Задача "дан потенциал, найти спектр", по-моему, осмыслена и физически, и математически (я, правда, не уверен, насколько в тему я написал эту фразу).

Физически она осмыслена, поскольку физик, если его начать допрашивать с пассатижами, вспомнит кучу разных ещё ограничений, которые совершенно очевидны, и просто не приходят в голову. И всяких хитро hand-waving-овых интерпретаций, типа "это мы называем вероятностью, это - плотностью потока падающих частиц, и центров рассеяния у нас на самом деле целая пробирка с тяжёлой водой, и частицу мы считаем гауссовым волновым пакетом, потому что ну чем же ещё её считать..."

Почему она осмыслена математически - понятия не имею. Для меня это загадка. (На втором курсе, я думал, что всё просто, как в конечномерной линейной алгебре.) Вообще, вы меня как раз тщательно и последовательно убеждаете, что она как раз не осмыслена ни черта, пока не будет произнесено примерно такого же букета умолчаний - ну хотя бы, "в каком пространстве вешать".

----------------

На самом деле, к слову о граничных условиях, - вот это как раз было бы очень хорошо, если бы математики перевели свои придирки на простой и понятный физикам язык. Потому что с граничными условиями рядом - физики живут уже 100 лет как, если не 200. И уже привыкли, что их надо оговаривать, и понимают зачем, и даже понимают, как. И даже не боятся иногда таких словосочетаний, как "граничные условия на бесконечности", "опережающие и запаздывающие решения"... Это, конечно, премудрость, но - наглядная. Можно понять, что мы учитываем или отбрасываем в природе, когда мы что-то учитываем или отбрасываем в математической модели.

[g______d]

amon в сообщении #1023267 писал(а):

Все задачи типа "дан потенциал, найти спектр" решены классиками естествознания и собраны в задачниках.

Это точно решаемые модели. Но есть куча моделей, в которых надо дать ответ в качественных терминах для класса потенциалов. Слышали что-нибудь про локализацию Андерсона? Это была нобелевская премия. А одним из основных вопросов современной математической физики является поведение модели Андерсона в 3D при маленьких константах связи. Ну и вообще, такими вопросами куча людей занимается.

amon в сообщении #1023267 писал(а):

когда в теор.физике получили наконец уравнение Шредингера, то задача уже считается практически решенной, и самосопряженностью ни кто не заморачивается.

Ну это утверждение на уровне, что если у нас была задача, которая свелась к задаче классической механики с известным гамильтонианом, то она уже решена. Но Вы же знаете, что классическая механика начинается с вопроса "дан гамильтониан, что можно сказать про поведение системы, зная его?" Не вижу принципиальной разницы между этим и квантовой механикой.

Munin в сообщении #1023277 писал(а):

пока не будет произнесено примерно такого же букета умолчаний - ну хотя бы, "в каком пространстве вешать".

Букет умолчаний очень простой -- сделайте мне самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве.

Munin в сообщении #1023277 писал(а):

На втором курсе, я думал, что всё просто, как в конечномерной линейной алгебре.

Если бы вы были знакомы с базовыми курсами по теории меры и функциональному анализу, то все выглядело бы почти так же просто. Просто возможный набор ситуаций более богат. Вместо разложения по собственным векторам есть его обобщение, называемое спектральной мерой. Ее можно разложить на три компоненты: точечную, абсолютно непрерывную и сингулярно непрерывную (последняя во многих случаях не присутствует, хотя в последнее время появляются модели, как раз связанные с квазикристаллами, в которых она есть). Т. е. пространство $L^2$ будет разложено в прямую сумму трех подпространств, отвечающим компонентам спектра оператора $H=-\Delta+V$. Подпространства зависят от оператора, конечно. Дальше, динамика определяется поведением функции $\psi(t)=e^{itH}\psi_0$. Качественное поведение зависит от того, какому из трех подпространств принадлежит $\psi_0$. Если точечной компоненте, то частица остается в среднем на месте. Если абсолютно непрерывной, то волновой пакет расползается, и можно изучать скорость расползания и т. е. Если $\psi_0$ содержит и то, и другое, то часть останется, часть расползется.

Первый вопрос, возникающий у большинства людей после того, как гамильтониан получен, — как устроены соответствующие подпространства.