система ДУ. вариация постоянных

[Ubermensch]

Хочу понять принцип решения таких систем методом вариации.

$$ \begin{cases} y_1'=-4y_1-3y_2+y_3+e^x,\\ y_2'=2y_1+4y_2-3y_3-2e^x,\\ y_3'=2y_1+2y_2-y_3+xe^x \end{cases} $$

Для начала мы решаем однородную систему. Например, методом Эйлера, так? Вариация пока не используется.

Составляем хар. уравнение.

$$ \qquad \begin{vmatrix} -4-l & -3 & 1\\ 2 & 4-l & -3 \\ 2 & 2& -1-l \end{vmatrix} $$

=0

Корни: 0, 2, -3

Дальше для каждого корня находим собственный вектор?


$l=0:$

$$ \begin{cases} -4a-3b+1c=0\\ 2a+4b-3c=0,\\ 2a+2b-1c=0 \end{cases} $$

отсюда:
$-2a=b=c$
вектор $(1, -2, -2)$.

и решение: $y_1=1m y_2=-2, y_3=-3$
$l=2:$

$$ \begin{cases} -6a-3b+1c=0\\ 2a+2b-3c=0,\\ 2a+2b-3c=0 \end{cases} $$

последние 2 строки сокращаются. Получается, например, вектор $(1, -2, -2)$, как и в предыдущем случае.

Я вообще на правильном пути? Я что-то совсем запутался.

[svv]

Я бы предложил такой подход. Либо мы уже осваиваем метод вариации постоянных, и тогда мы можем считать решение однородной системы известным, получив его предварительно с помощью WolframAlpha, списав из ответа и т.д. Либо мы ещё только учимся решать однородные системы. Тогда вопрос — каким методом?

[Brukvalub]

Есть теорема: собственные векторы линейного оператора, отвечающие разным собственным значениям, линейно независимы. У вас эта теорема не выполняется. Ищите ошибку в вычислениях.

[Ubermensch]

Нет, во всем разобраться нужно. Сразу в однородных, потом в неоднородных.

Можете подсказать, где посмотреть примеры решения таких неоднородных систем из 3 уравнений методом вариации?
В Филиппове только для случая 2 уравнений. Хоть для 3 то же самое, но все равно хотелось бы увидеть пример.

И вообще я пытаюсь составить для себя представление, что, когда и через что решать.

Сразу мы решаем однородную систему. Каким методом? Если она простая, то методом исключения, если посложнее, то через характеристическое уравнение. Это называется методом Эйлера, да?
Потом уже, получив решение однородной системы, решаем неоднородную методом вариации либо неопределенных коэффициентов?

То есть:
1 шаг: метод исключения или метод Эйлера
2 шаг: неопределенные коэффициенты или вариация?



Для $l=2$ собственный вектор будет другой, там ошибка.

-- 03.06.2015, 11:47 --

Хорошо.
$l=2$ получается система из двух уравнений с 3 неизвестными. Что это значит?

[iifat]

Ubermensch в сообщении #1023021 писал(а):

$l=2$ получается система из двух уравнений с 3 неизвестными. Что это значит?

Значит, вы не до конца разобрались с собственными значениями. При любом собственном значении получается система из двух уравнений с тремя неизвестными (за исключением кратных собственных значений, когда уравнений ещё меньше). Это вытекает из определения собственного значения. Значит это, что наряду с вектором $\vec a$ собственным является любой пропорциональный.