Количество цифр в числе 8^8

[Interesno]

На Самарской математической олимпиаде в этом году предлагалась следующая задача:
Натуральные числа $n$ и $k$ таковы, что число $n^n$ содержит $k$ цифр, а число $k^k$ содержит $n$ цифр. Найти $n$ и $k$.

Легко догадаться, что $n = k$, а значит, нужно искать такие натуральные $n$, что $n^n$ содержит $n$ цифр. Ясно, что $n < 10$, а решение $n=1$ очевидно. Вопрос: как прийти к решениям $n=8$ и $n=9$ (без логарифмов и прочего матанализа)?

Может, возможно как-то оценить числа $\frac{10^{10}}{9^9}$ и $\frac{9^9}{8^8}$(доказать, что они больше 10, но меньше 100)?

[nnosipov]

Interesno в сообщении #1022819 писал(а):

Вопрос: как прийти к решениям $n=8$ и $n=9$ (без логарифмов и прочего матанализа)?

Встречный вопрос: зачем заниматься извращениями? Сама задача настолько неинтересна, что ещё выискивать какие-то хитрые способы борьбы с очевидностями --- это явно перебор.

[iifat]

Interesno в сообщении #1022819 писал(а):

как-то оценить числа

Ну, простейший способ — калькулятор. Чай, не пара миллионов.
Либо, если хочется потренироваться, $\frac{10^2}{9^2}=\frac{100}{81}$ — между 1 и $\frac54$. Вот в таком духе.

[Interesno]

nnosipov в сообщении #1022826 писал(а):

Встречный вопрос: зачем заниматься извращениями? Сама задача настолько неинтересна

Чтобы решить задачу №10 за десятый класс на самарской математической олимпиаде 2015 года. Некий способ быстро решить её (не прибегая к логарифмам) должен быть, и мне интересно узнать его.

[nnosipov]

Interesno в сообщении #1022836 писал(а):

Некий способ быстро решить её (не прибегая к логарифмам) должен быть

Хосподи, да кому они нужны, эти якобы хитрые способы ... Если Вы школьник, не тратьте время на эту ерунду, пользы в будущем от того, что Вы узнаете ещё какой-то одноразовый трюк, не будет.

[Interesno]

Я ошибся. Здесь нет никакого хитрого способа. Тупо умножение в столбик.

[Legioner93]

Хитрых нет, но крайне утилитарные -- есть. Аж целых два!
1) Полезно на всю жизнь запомнить, что $2^{10}$ -- примерно $1000$. Это позволит вам безо всяких усилий оценивать в уме любые степени двойки, встречающиеся на практике. Получаем, что $8^8=2^{24} = 16 \cdot 2^{10}\cdot 2^{10}$ -- около 16 миллионов. Количество цифр определили.
2) Длина $9^9$ определяется также в уме, но с помощью уже куда более общего приёма -- ряда Тейлора (о нём вам ещё расскажут) в ипостаси бинома Ньютона (о котором вы уже знаете)
Хотим выяснить, верно ли $9^9 > 10^8$. Делим на $9^8$, немного обрезаем бесконечную дробь: $9 > 1.1^8$, а $1.1^8 = (1 + 0.1)^8$, что около $1 + 0.8 = 1.8$. Можете проверить, что я сильно не ошибся. То есть числа отличаются аж в 3 ÷ 5 раз, что делает правомерным все приближения.

Но олимпиадного тут, конечно, пшик.