численные методы решения дифуров в частных производных

[pim]

Кто что знает об этом:

1. Какие существуют основные методы для решения дифуров в частных производных (PDE)? Мне, как начинающему, пока известны только конечные элементы и разностные схемы

2. В чем преимущество того или иного метода над другим? какие области применимости (например для каких типов PDE применим метод)?

3. Какой метод сейчас наиболее популярен? за каким методом (на ваш взгляд) будущее?

4. Что бы такое почитать (как начинающему), где бы можно было найти обзор, сравнение методов?

Хотелось бы все это узнать, конечно, в сравнении. Пока что, с кем мне удалось пообщаться знакомы только с одним каким-либо методом и не имеют представления о других методах.

[Brukvalub]

pim писал(а):

Какие существуют основные методы для решения дифуров в частных производных (PDE)? Мне, как начинающему, пока известны только конечные элементы и разностные схемы

А про способы точного решения некоторых классов (PDE Вы не слыхали? Или Вас исходно интересуют только численные методы?

[V.V.]

1. Идёте в библиотеку и начинаете читать книги по численным методам, где есть упоминание об УрЧП. Основные там есть.

Мне нравится книга Самарского "Разностные схемы". Он же автор других книг про нелинейные уравнения.

2. Обычно все-таки рассматривают тип уравнений, а потом исследуют область применимости.
Например, рассмотрели уравнение теплопроводности, а потом исследуем, при каких соотношениях между $h$ и $\tau$ можно применять, допустим, явную схему.

3. Читайте журналы по выч. методам и численному моделированию. Так и узнаете, какие методы сейчас популярны. А журналы живут в библиотеке...



2 Brukvalub. К сожалению, уравнения точно решаются редко, особенно нелинейные. Даже для уравнений с богатой алгеброй симметрий найти решение с данными граничными условиями обычно неподъемная задача.

[pim]

Brukvalub писал(а):

Цитата:

А про способы точного решения некоторых классов (PDE Вы не слыхали? Или Вас исходно интересуют только численные методы?

Да, действительно меня интересуют только численные методы. Сейчас допишу в теме

Добавлено спустя 19 минут:

V.V. писал(а):

1. Идёте в библиотеку и начинаете читать книги по численным методам, где есть упоминание об УрЧП. Основные там есть.

Мне нравится книга Самарского "Разностные схемы". Он же автор других книг про нелинейные уравнения.

С разностными схемами я более-менее познакомился (по книге Годунова "разностные схемы"). Сейчас посоветовали почитать Johnson C. Numerical solution of PDEs by the finite element method. Но где почитать о конкретном меоде - я найду. А хочется понять преимущество того или иного метода.

V.V. писал(а):

2. Обычно все-таки рассматривают тип уравнений, а потом исследуют область применимости.
Например, рассмотрели уравнение теплопроводности, а потом исследуем, при каких соотношениях между $h$ и $\tau$ можно применять, допустим, явную схему.

Здесь меня интересует другой вопрос. Например, из того, что я успел почитать, я выяснил, что для газовой динамики (гиперболические ур.) применяют разностные схемы, а почему не конечных элементов метод? Вот такого сорта вопросы по области применимости меня интересуют.

V.V. писал(а):

3. Читайте журналы по выч. методам и численному моделированию. Так и узнаете, какие методы сейчас популярны. А журналы живут в библиотеке...

От этого никуда не денешься, но я надеюсь кто-нить опытный подскажет наиболее популярные, а я с них и начну

[Zai]

pim писал(а):

Да, действительно меня интересуют только численные методы.

Знание теоретических аналитических решений и методов их получения существенны при решении сложных задач численными методами( например в газовой динамике сшивка решений пограничного слоя , разрывов на ударных волнах, контактных тангенциальных разрывов в срывных зонах и др.)

pim писал(а):

я выяснил, что для газовой динамики (гиперболические ур.) применяют разностные схемы, а почему не конечных элементов метод? Вот такого сорта вопросы по области применимости меня интересуют.

Конечные элементы применяются и в газовой динамике (например тетраэдры в пакете Fluent). Они хороши только для задач со сложной инженерной геометрией.
Методы КР более эффективны для исследования нескольких физических процессов в связанной постановке задачи. Для них существенно проще доказать свойства алгоритмов, таких как консервативность, аппроксимация и др.

[Vaulin]

я занимаюсь решением параболического уравнение, которое используется для описания процесса распространения радиоволн. Разностные методы, насколько мне известно, известны своей простотой в реализации, но они дают большую ошибку дискретизации, т.е. страдают точностью. Являются грубыми. Многие из них также неустойчивы. Также мне известен метод Фурье - наиболее предпочтительный на сегодняшний день и по точности и по устойчивости и по объему вычислительных затрат, но тоже обладает рядом недостатков. Также существуют методы Рицца, Галеркина, метод конечных элементов и др. Что такое PDE я не знаю.
Вообще я как-то проводил обзор численных решений параболического уравнения. Если кому интересно пишите по адресу: ivnic...mail.ru

[Профессор Снэйп]

Vaulin писал(а):

Что такое PDE я не знаю.

Partial Differential Equations, надо полагать. То есть "Уравнения в Частных Производных" По русски УрМаты

[Vaulin]

Профессор Снэйп писал(а):

Vaulin писал(а):

Что такое PDE я не знаю.

Partial Differential Equations, надо полагать. То есть "Уравнения в Частных Производных" По русски УрМаты

[shwedka]

Профессор Снэйп писал(а):

Vaulin писал(а):

Что такое PDE я не знаю.

Partial Differential Equations, надо полагать. То есть "Уравнения в Частных Производных" По русски УрМаты

Общаясь с народом за границей, я все более склоняюсь к употребляемому ими русскому переводу
ЧАСТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ;
это противоречит русской традиции, но в какой-то степени логично. Ведь переводим же мы
ODE
как
Обыкновенные д.у.

[ГАЗ-67]

Есть ещё метод граничных элементов и метод инвариантного погружения .
По МГЭ в качестве стартовой рекомендую книгу Крауча и Старфилда .
По методу инвариантного погружения ничего рекомендовать не буду , т.к. в данный момент пытаюсь разобраться в нём .

[Riga]

Векторный метод конечных элементов
http://planetadisser.com/see/dis_53721.html
ami.nstu.ru/~balandin/files/3_21.pdf