Вектор Пойнтинга релятивистской частицы

[lv00]

Меня интересует случай равномерно движущейся частицы (безызлучательный член в полях Лиенара-Вихерта).

$$ \vec{E} = q (1-v^2) \frac{\vec{R_{t'}} - \vec{v}}{(R_{t'} - \vec{v}\vec{R_{t'}})^3} $$

$$ \vec{H} = - q (1-v^2) \frac{\vec{R_{t'}} \times \vec{v}}{(R_{t'} - \vec{v}\vec{R_{t'}})^3} $$

где $R_{t'}$ - радиус-вектор, направленный в точку наблюдения в момент времени $t'$

Частица движется вдоль оси $z$.

Используя текущее время $t$, можно написать:

$$ \vec{E} = q (1-v^2) \frac{\vec{R}}{(R^*)^3} $$

$$ \vec{H} = - q (1-v^2) \frac{\vec{R} \times \vec{v}}{(R^*)^3} $$

где

$$ R^* = \sqrt{(1-v^2)(x^2 + y^2) + (z-vt)^2} $$

Т.к. имеется цилиндрическая симметрия, можно параметризовать:

$$ x = r \cos{\phi} $$

$$ y = r \sin{\phi} $$

Тогда:

$$ \vec{E} = q (1-v^2) \frac{1}{(R^*)^3} (r\cos{\phi} \vec{e_x} + r\sin{\phi} \vec{e_y} + (z-vt) \vec{e_z}) $$

$$ \vec{H} = - q (1-v^2) \frac{1}{(R^*)^3} (vr\cos{\phi} \vec{e_x} - vr\sin{\phi} \vec{e_y} + 0 \vec{e_z}) $$

Вектор Пойнтинга: $\vec{S} = [\vec{E} \times \vec{H}]$ (в декартовых координатах):

$$ \vec{S} = \frac{q^2(1-v^2)^2}{(R^*)^6} (-vr\cos{\phi} (z-vt) \vec{e_x} - vr\sin{\phi}(z-vt) \vec{e_y} + vr^2 \vec{e_z}) $$

В цилиндрических координатах::

$$ \vec{S} = \frac{q^2(1-v^2)^2}{(R^*)^6} (-v(z-vt) r \vec{e_r} + vr^2 \vec{e_z}) $$

Что мне кажется странным, так это то, что $r$-компонента вектора Пойнтинга меняет знак в зависимости от точки. Таким образом, получается, что в одной области пространства она направлена к частице.
Ясное дело, что я рассматриваю безызлучательный случай, но такое направление кажется для меня непонятным.

[Munin]

Когда частица движется (равномерно), она "тащит" своё электромагнитное поле за собой. Так что, поток энергии попросту отражает это перемещение поля (и энергии поля) в пространстве. Впереди частицы - энергия течёт вперёд от частицы, а сзади частицы - вперёд вслед за частицей.

[lv00]

Правильно ли мне представляется, что в случае лобового столкновения двух ультрарелятивистских частиц (считаем их торможение в результате столкновения незначительным), в окрестности момента столкновения поток энергии через сферическую поверхность будет уже ненулевой (рассматриваем сумму вкладов типа $\vec{E_1} \times \vec{E_2} \times \vec{n_{1,2}} $ (нужно взять с разными знаками), где $\vec{n_{1,2}}$ - единичный вектор, направленный от первой (второй) частицы в точку наблюдения), в то время как для одной частицы он является нулевым?

[Munin]

В случае лобового столкновения двух ультрарелятивистских частиц произойдёт рассеяние. Для него есть целая теория рассеяния, даже две: классическая и квантовая.

Точно решить эту задачу нельзя, поэтому решают приближённо.

В первом приближении, "торможением" пренебречь уже нельзя: частицы отклонятся от прямых путей, как столкнувшиеся биллиардные шары, с законами сохранения энергии и импульса. Поскольку энергия сохраняется, то поток энергии через границу системы в этом приближении можно считать нулевым.

В следующем приближении, частицы не просто оттолкнутся, но и излучат при этом электромагнитные волны. Разумеется, при этом они потеряют энергию, и через границу системы сначала выйдет энергия электромагнитной волны, а потом с некоторой задержкой - сами частицы и их поля, которые они "тащат" с собой. Спектр волн при этом будет очень широкий, поскольку сама волна не синусоидальная, а в виде одного импульса.

В общем, классическая теория - ЛЛ-2 глава 9, особенно § 68.
Квантовая теория - это надо смотреть уже книги по КЭД. Интересуют процессы $ee\to ee,$ $e\mu\to e\mu,$ и с излучением $\ldots+N\,\gamma.$

[lv00]

Munin в сообщении #1005023 писал(а):

В случае лобового столкновения двух ультрарелятивистских частиц произойдёт рассеяние. Для него есть целая теория рассеяния, даже две: классическая и квантовая.

Точно решить эту задачу нельзя, поэтому решают приближённо.

В первом приближении, "торможением" пренебречь уже нельзя: частицы отклонятся от прямых путей, как столкнувшиеся биллиардные шары, с законами сохранения энергии и импульса. Поскольку энергия сохраняется, то поток энергии через границу системы в этом приближении можно считать нулевым.

В следующем приближении, частицы не просто оттолкнутся, но и излучат при этом электромагнитные волны. Разумеется, при этом они потеряют энергию, и через границу системы сначала выйдет энергия электромагнитной волны, а потом с некоторой задержкой - сами частицы и их поля, которые они "тащат" с собой. Спектр волн при этом будет очень широкий, поскольку сама волна не синусоидальная, а в виде одного импульса.

В общем, классическая теория - ЛЛ-2 глава 9, особенно § 68.
Квантовая теория - это надо смотреть уже книги по КЭД. Интересуют процессы $ee\to ee,$ $e\mu\to e\mu,$ и с излучением $\ldots+N\,\gamma.$

Это все понятно. Я имел в виду т.н. эйкональное приближение, когда (введем некоторое прицельное расстояние) частицы практически не изменяют своей траектории.

Давайте рассмотрим второе приближение, когда частицы отклоняются от траекторий и излучают электромагнитные волны.
При подсчете интенсивности излучения на дальнем расстоянии пренебрегают первым членом в полях Лиенара-Вихерта (который пропорционален $1/R^2$), т.к. он сильно убывает с расстоянием. А если смотреть картину вблизи источников, не пренебрегая первым членом, то вклад в перекрестное слагаемое вектора Пойнтинга (о котором шла речь выше) окажется, по всей видимости, ненулевым.

[BalyunovVV]

lv00 в сообщении #1004451 писал(а):

Меня интересует случай равномерно движущейся частицы (безызлучательный член в полях Лиенара-Вихерта).

Таким образом, получается, что в одной области пространства она направлена к частице.
Ясное дело, что я рассматриваю безызлучательный случай, но такое направление кажется для меня непонятным.

Магнитное поле поле любого заряда (движущегося равномерно или ускоренно) всегда перпендикулярно электрическому ЛЛ т.2 пар.63
А, поскольку электрическое поле равномерно движущегося заряда направлено всегда от (к) заряду, то вектор Пойтинга перпендикулярен радиусу вектору, а значит не может быть наравлен к заряду или от него.

[Munin]

lv00 в сообщении #1022215 писал(а):

При подсчете интенсивности излучения на дальнем расстоянии пренебрегают первым членом в полях Лиенара-Вихерта (который пропорционален $1/R^2$), т.к. он сильно убывает с расстоянием. А если смотреть картину вблизи источников, не пренебрегая первым членом, то вклад в перекрестное слагаемое вектора Пойнтинга (о котором шла речь выше) окажется, по всей видимости, ненулевым.

Суть пренебрежения этим членом - это пренебрежение т. наз. "ближним полем", которое, конечно, даёт какие-то ненулевые слагаемые, но они локальны по отношению к системе зарядов: энергия как передаётся от частиц к полю, так и возвращается обратно от поля к частицам. В деталях разбирать эти процессы часто неинтересно. На излучение они не влияют. Что такое "ближняя, волновая и дальняя зоны", можете быстро ознакомиться в Физической Энциклопедии, статья "Антенна", раздел "Поле излучения антенны", например, здесь: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0152.html (лучше в отсканированной копии).

[lv00]

Munin в сообщении #1022330 писал(а):

lv00 в сообщении #1022215 писал(а):

При подсчете интенсивности излучения на дальнем расстоянии пренебрегают первым членом в полях Лиенара-Вихерта (который пропорционален $1/R^2$), т.к. он сильно убывает с расстоянием. А если смотреть картину вблизи источников, не пренебрегая первым членом, то вклад в перекрестное слагаемое вектора Пойнтинга (о котором шла речь выше) окажется, по всей видимости, ненулевым.

Суть пренебрежения этим членом - это пренебрежение т. наз. "ближним полем", которое, конечно, даёт какие-то ненулевые слагаемые, но они локальны по отношению к системе зарядов: энергия как передаётся от частиц к полю, так и возвращается обратно от поля к частицам. В деталях разбирать эти процессы часто неинтересно. На излучение они не влияют. Что такое "ближняя, волновая и дальняя зоны", можете быстро ознакомиться в Физической Энциклопедии, статья "Антенна", раздел "Поле излучения антенны", например, здесь: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0152.html (лучше в отсканированной копии).

Спасибо. А где-нибудь можно почитать (если такое существует) подробное описание отдачи энергии полю/последующему забору энергии обратно?

Хорошо, а если бы, допустим, у этого слагаемого была зависимость $1/R$, неужели оно бы излучало?

[Munin]

lv00 в сообщении #1022352 писал(а):

Хорошо, а если бы, допустим, у этого слагаемого была зависимость $1/R$, неужели оно бы излучало?

Ну да, оно само и было бы излучением.

[lv00]

Munin в сообщении #1022378 писал(а):

lv00 в сообщении #1022352 писал(а):

Хорошо, а если бы, допустим, у этого слагаемого была зависимость $1/R$, неужели оно бы излучало?

Ну да, оно само и было бы излучением.

Просто вот что не совсем тогда становится понятно. Для одной частицы вклад от этого слагаемого в поток вектора Пойнтинга $(S n) $ равен нулю, что в принципе логично - частица не ускоряется. Стоит добавить вторую частицу, как (при наличии нужной зависимости $1/R$) слагаемое дает ненулевой вклад в поток энергии. Хотя изменение зависимости с $1/R^2$ на $1/R$ не повлияло на то, что слагаемое не зависит от ускорения.

[rustot]

При появлении второй частицы, если при этом они обе движутся неускоренно (несмотря на ненулевую силу со стороны другой частицы), то очевиден переход энергии электромагнитных взаимодействий в другие виды. Если же другие силы отсутствуют и значит они движутся ускоренно - то опять же переход энергии в кинетическую.

[Munin]

lv00 в сообщении #1022385 писал(а):

Хотя изменение зависимости с $1/R^2$ на $1/R$ не повлияло на то, что слагаемое не зависит от ускорения.

Это вы заблуждаетесь. Порядки убывания и порядки ускорений между собой как раз непосредственно связаны. Ср. с гравитацией как тензорной теорией: в ней порядок $1/R$ (первый излучательный) имеет не слагаемое, зависящее от ускорения (как в электродинамике), а слагаемое, зависящее от третьей производной (неоднородности ускорения).

[lv00]

Решил не создавать новую тему, а написать сюда.

Я рассматриваю выражение для плотности энергии

$$ \var{E} = \frac{E^2 + H^2}{2} $$

С помощью уравнений Максвелла и без фиксации калибровки, учитывая только вклад взаимодействия (отбрасывая самодействие), выражение для плотности энергии можно привести к виду (здесь цифры используются для нумерации частиц - для простоты рассматриваем случай двух частиц):

$$ \frac{1}{2} \left[ \left(\phi_1 \rho_2 + \phi_2 \rho_1 - \phi_1 \frac{\partial{\vec{\nabla}}\vec{A}_2}{\partial t} - \phi_2 \frac{\partial{\vec{\nabla}}\vec{A}_1}{\partial t} + 2 \frac{\partial \vec{A}_1}{\partial t}\frac{\partial \vec{A}_2}{\partial t} \right) + $$

$$ + \left( \vec{A}_1 \vec{j}_2 + \vec{A}_2 \vec{j}_1 - \vec{A}_1 \vec{\nabla} \frac{\partial \phi_2}{\partial t} - \vec{A}_2 \vec{\nabla} \frac{\partial \phi_1}{\partial t} - \vec{A}_1 \frac{\partial ^2 \vec{A}_2}{\partial t^2} - \vec{A}_2 \frac{\partial ^2 \vec{A}_1}{\partial t^2} \right) \right] $$

где круглыми скобками выделены вклады от электрического и магнитного полей соответственно (закрывающая квадратная скобка в конце не влезла).
Можно ли каким-либо образом привести данное выражение к удобному для восприятия виду (например, как в случае электростатики)? Насколько мне представляется помимо выделенных вкладов во взаимодействие типа "заряд-потенциал" и "ток-потенциал" должны входить также вклады от взаимодействия частиц с излучением, но пока это не прослеживается никаким образом.

[Munin]

Совсем не понял, ни что вы делаете, ни зачем.

[lv00]

Munin в сообщении #1026837 писал(а):

Совсем не понял, ни что вы делаете, ни зачем.

В случае покоящихся частиц удается свести выражение для плотности энергии к

$$ \frac{1}{2} \phi \rho $$

В случае наличия токов удается получить

$$ \frac{1}{2} \vec{A} \vec{j} $$

Соответственно, возник вопрос, что получим в общем случае при наличии излучения.