Три рациональных числа

[scwec]

Пусть $a,b,c$ рациональные длины сторон некоторого треугольника и хотя бы одно из чисел $ab,bc,ac$ не является квадратом.
Докажите, что существует рациональное число $R\ne{0}$ такое, что три числа $Ra+1, Rb+1, Rc+1$ - квадраты рациональных чисел.

[scwec]

Положим $E=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),F=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc$
$E\ne{0}$ поскольку $a,b,c$ длины сторон треугольника.
Предположим, что $F=0$. По условию, например, $ab$ не квадрат. Решая квадратное уравнение $F=0$ относительно $c$
$c=a+b\pm{2}\sqrt{ab}$ находим, что $c$ не рациональное число. Итак, $F\ne{0}$.
Искомое $R=-\dfrac{8E}{F^2}$.
$Ra+1=\left(\dfrac{(b-c)^2+a(2b+2c-3a)}{F}\right)^2$
$Rb+1=\left(\dfrac{(c-a)^2+b(2c+2a-3b)}{F}\right)^2$
$Rc+1=\left(\dfrac{(a-b)^2+c(2a+2b-3c)}{F}\right)^2$

[scwec]

Ещё задача из области диофантовых троек.
Даны три натуральных числа $a,b,c$ таких что числа $ab+1,ac+1,bc+1$ - квадраты целых чисел.
1.Докажите, что $a,b,c$ не могут быть длинами сторон некоторого треугольника.
2.Разрешим одному из чисел $a,b,c$ быть не натуральным, но рациональным положительным.
Найдите хотя бы один треугольник, длины сторон которого $a,b,c$.
(Условие $ab+1,ac+1,bc+1$ - квадраты целых чисел превращается в $ab+1,ac+1,bc+1$ - квадраты рациональных чисел).

[BVR]

А как придумывались числа $E$ и $F$ в первой задаче?

[scwec]

BVR в сообщении #1026761 писал(а):

А как придумывались числа $E$ и $F$ в первой задаче?

Рассматривалась эллиптическая кривая $y^2=(ax+1)(bx+1)(cx+1)$. Очевидная рациональная точка $P=(0,1)$.
$x$-координата точки $3P$ равна $-\dfrac{8E}{F^2}$.

[scwec]

Замечание. Можно доказать, что $x$-координаты точек $(2k+1)P$, где $k$ натуральное число - это числа $R$.
Но выражения для них с ростом $k$ очень громоздки.
Для точки $5P$, например,

R=8(b+a-c)(-b+a-c)(-b+a+c)(-3b^2+2ab+a^2+2cb-2ca+c^2)(b^2-2ab+a^2-2cb-2ca+c^2)(-b^2-2ab+3a^2+2cb-2ca-c^2)(b^2-2ab+a^2+2cb+2ca-3c^2)/(10330a^4c^4b^4-3720a^4c^3b^5+712a^4cb^7-2652a^4c^2b^6+924c^6b^6+495c^4b^8-792c^5b^7-220c^3b^9-12cb^11-12c^11b+66c^10b^2+c^12+b^12-792c^7b^5+66c^2b^10+495c^8b^4+a^12-3720a^4c^5b^3-2652a^4c^6b^2+712a^4c^7b+28a^9cb^2+28a^9c^2b-380a^3cb^8+80a^3c^2b^7+4240a^3c^3b^6-3720a^3c^5b^4+4240a^3c^6b^3+80a^3c^7b^2-380a^3c^8b+28ac^9b^2+712ac^7b^4+44acb^10+28ac^2b^9+712ac^4b^7-380ac^3b^8-392ac^5b^6-392ac^6b^5-380ac^8b^3+44ac^10b-380a^8cb^3+44a^10cb+26a^8c^2b^2-380a^8c^3b+80a^7c^2b^3+712a^7cb^4+80a^7c^3b^2+712a^7c^4b-392a^6cb^5-2652a^6c^2b^4+4240a^6c^3b^3-2652a^6c^4b^2-392a^6c^5b+28a^2cb^9+26a^2c^2b^8+80a^2c^3b^7-2652a^2c^4b^6+4904a^2c^5b^5-2652a^2c^6b^4+80a^2c^7b^3+26a^2c^8b^2+28a^2c^9b-392a^5cb^6+4904a^5c^2b^5-3720a^5c^3b^4-3720a^5c^4b^3+4904a^5c^5b^2-392a^5c^6b+495a^4b^8+495a^4c^8-220a^9b^3-220a^3b^9-220a^3c^9-12ab^11-12ac^11-12a^11b-12a^11c+66a^10b^2+66a^10c^2+495a^8b^4+495a^8c^4-792a^7b^5-792a^7c^5+924a^6b^6+924a^6c^6+66a^2b^10+66a^2c^10-792a^5b^7-792a^5c^7-220c^9b^3)