векторы и ковекторы

[illuminates]

Есть вопрос:
Правильно ли я понимаю, что в квантовой механике кет означает вектор, а бра - ковектор?
Если да, то почему об этом собственно речь идёт лишь в квант-мехе? Почему в книгах по тензорам, по крайней мере в тех которые я смотрел, не используют символику Дирака? Ведь символика Дирака позволяет работать не только с проекциями векторов и ковекторов но и с самими геометрическими сущностями, что кажется более фундаментальным подходом.

[fizeg]

Писать гору скобок не всегда и не всем удобно. У математиков свои нотации и они тоже (и даже чаще чем физики) работают не только в координатах.

-- 01.06.2015, 08:51 --

это кстати говорит, что смотрели вы книг очень мало

[casualvisitor]

N. David Mermin писал(а):

Mathematicians tend to despise Dirac notation, because it can prevent them from making important distinctions, but physicists love it, because they are always forgetting that such distinctions exist and the notation liberates them from having to remember.

Но некоторым физикам эта нотация тоже не нравится (см., например, Lectures on Quantum Mechanics by Steven Weinberg).

О преимуществах и недостатках дираковской нотации можно почитать вот здесь: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

[Munin]

illuminates в сообщении #1022175 писал(а):

Если да, то почему об этом собственно речь идёт лишь в квант-мехе? Почему в книгах по тензорам, по крайней мере в тех которые я смотрел, не используют символику Дирака?

Во-первых, используют. Во-вторых, в других условиях символика Дирака менее удобна, чем многие другие стандартные математические.

Вот подумайте: почему в математике принято обозначать функции одной буквой: $f(x),$ а в программировании - длинными словами: get_main_value (file, record_no) ?

В физике принято кет-вектор обозначать описанием его состояния. В математике вектор - это просто вектор, безличный.

[olenellus]

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #1022183 писал(а):

О преимуществах и недостатках дираковской нотации можно почитать вот здесь: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Спасибо за любопытное чтиво!
Об этом здесь давно пишет g______d.

[Munin]

(Оффтоп)

Ого! Книжка ответов! Здорово!

[g______d]

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #1022183 писал(а):

О преимуществах и недостатках дираковской нотации можно почитать вот здесь: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Хороший текст (хотя я пока до конца не дочитал). Но я нашел один ляп на странице 11, сноска 3. Нужно не существование производной почти везде, а существование $L^2$-производной в смысле обобщенных функций. Это не то же самое, пример -- канторова лестница. У нее производная почти везде существует и равна нулю, но функция не принадлежит $\mathcal{D}_{\max}$.

[Munin]

(Оффтоп)

А она удовлетворяет определению (2.16) выше на той же странице?

[g______d]

Munin в сообщении #1022710 писал(а):

Там не говорится, что это нужно, там просто разъясняется смысл условия $\psi'\in L^2(\mathbf{R},dx).$

Неправильно разъясняется.

Т. е. вам может показаться, что авторы дают определения (сначала определение фразы $\psi'\in L^2$, потом определение множества $\mathcal D_{\max}$), а определения неправильными не бывают. Ну хорошо, тогда утверждение в начале страницы 39 о том, что оператор, заданный на этой области, является эрмитовым, неверно -- если область понимать так, как описали авторы.

Поскольку эрмитовость -- ключевой момент, ради которого всё затевалось, они ошиблись не в утверждении об эрмитовости, а именно неаккуратно определили $\mathcal D_{\max}$.

Ну и опять же, поскольку это определение $\mathcal D_{\max}$ является стандартным при условии, что $\psi'$ -- это обобщённая производная, реальная ошибка находится в сноске, про которую я говорил.

-- Вт, 02 июн 2015 02:32:59 --

Munin в сообщении #1022713 писал(а):

А она удовлетворяет определению (2.16) выше на той же странице?

Хм, уже стёрли... (2.16) тут вообще ни при чём. Это область определения оператора координаты, а мы говорим про область определения оператора импульса.

[Munin]

g______d в сообщении #1022723 писал(а):

Хм, уже стёрли...

Со мной тоже бывают прозрения, что написал глупость.

g______d в сообщении #1022723 писал(а):

(2.16) тут вообще ни при чём. Это область определения оператора координаты

Я (2.16) понимаю как относящуюся к произвольному оператору, и вводящую понятие максимальной области определения.

-- 02.06.2015 12:43:05 --

g______d в сообщении #1022723 писал(а):

Ну и опять же, поскольку это определение $\mathcal D_{\max}$ является стандартным при условии, что $\psi'$ -- это обобщённая производная

Вот этого я не понимаю: если $\psi'$ - это обобщённая производная, то как она вообще может лежать в $L^2$? Там же только обычные функции?

-- 02.06.2015 12:47:09 --

g______d в сообщении #1022723 писал(а):

Ну хорошо, тогда утверждение в начале страницы 39 о том, что оператор, заданный на этой области, является эрмитовым, неверно -- если область понимать так, как описали авторы.

Ну вот, чему верить???

А в пространстве Шварца-то всё хорошо? Меня бы и оно устроило.

[olenellus]

Munin в сообщении #1022730 писал(а):

Вот этого я не понимаю: если $\psi'$ - это обобщённая производная, то как она вообще может лежать в $L^2$? Там же только обычные функции?

Ну, например, $|x| \in L^2(-1,1)$, её обобщённая производная $\partial_x |x| = \theta(x) - \theta(-x) \in L^2(-1,1)$. Хотя, в классическом смысле производной нет.

[Munin]

olenellus в сообщении #1022733 писал(а):

Хотя, в классическом смысле производной нет.

В классическом смысле производная почти всюду есть. Это совпадает с тем, что сказано в сноске 3 на стр. 11.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

а вот у этой функции $\psi(x)=1,\quad x\in\mathbb{Q},\quad \psi(x)=0,\quad x\notin\mathbb{Q}$. Классической производной нет ни в одной точке, а обобщенная производная равна нулю.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Тут не просто зоопарк диковин, тут разговор о физике. Такая функция не может быть волновой, разумеется. Принадлежит ли она $L^2(\mathbf{R},dx)$? А $\mathcal{S}(\mathbf{R})$?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1022745 писал(а):

Принадлежит ли она $L^2(\mathbf{R},dx)$?

конечно принадлежит

-- Вт июн 02, 2015 13:52:23 --

Munin в сообщении #1022745 писал(а):

А $\mathcal{S}(\mathbf{R})$?

она принадлежит $\mathcal{S}'(\mathbf{R})$