Плоскость Лобачевского

[TDnepr]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, решить задачу по дифференциальной геометрии:
На плоскости Лобачевского выразить радиус описанной окружности через стороны.

Пыталась делать с помощью теоремы косинусов, но в итоге получаются совсем ненужные углы, от которых я не могу избавиться.

[Nemiroff]

Речь о треугольниках? Где-то нужны слова "если такая окружность существует".

TDnepr в сообщении #1021831 писал(а):

Пыталась делать с помощью теоремы косинусов, но в итоге получаются совсем ненужные углы, от которых я не могу избавиться.

Показывайте. Вообще, кроме теоремы косинусов есть теорема синусов. Она в некотором смысле перегоняет углы в стороны, и наоборот.

[TDnepr]

Nemiroff

Пыталась применить теорему косинусов к треугольникам, сторонами которых являются 2 радиуса описанной окружности и одна из сторон треугольника, тогда в формуле получается ненужный угол этого треугольника, который находится в точке пересечения радиусов.

[Munin]

Вы выкладки и чертежи показывайте.

[Nemiroff]

TDnepr в сообщении #1021920 писал(а):

Пыталась применить теорему косинусов к треугольникам, сторонами которых являются 2 радиуса описанной окружности и одна из сторон треугольника, тогда в формуле получается ненужный угол этого треугольника, который находится в точке пересечения радиусов.

Неплохо. Только таких вот треугольников три штуки --- по одному на каждую сторону изначального треугольника. Вот и подумайте.

И все ещё: почему описанная окружность вообще существует?

[TDnepr]

Описанная окружность вроде не всегда существует в модели верхней полуплоскости, а я пытаюсь в модели Пуанкаре делать. И мне нужен именно тот случай, когда она существует.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #1021932 писал(а):

И все ещё: почему описанная окружность вообще существует?

А почему ей не существовать, не понимаю? (От модели это не зависит, кстати.)

-- 31.05.2015 19:11:40 --

А... Не... Кажется, понимаю...

[TDnepr]

б) Это доказательство того, что не вокруг любого треугольника можно описать окружность на плоскости Лобачевского

-- 31.05.2015, 19:18 --

Да, но я не знаю, что делать дальше, ведь сумма углов в треугольнике меньше $\pi$ и я не могу толком никакие известные соотношения написать

Наверное надо как-то по-другому начинать решать, но идей у меня пока нет

[Munin]

Попробуйте решить эту задачу на евклидовой плоскости. Потом замените теоремы соответствующими им теоремами на плоскости Лобачевского.

[TDnepr]

Munin
Радиус описанной окружности на евклидовой плоскости равен $\frac{abc}{4S}$ но я не знаю, останется он таким же в этом случае, если да, то я знаю, как выразить площадь треугольника на плоскости Лобачевского, и тогда задача будет решена

[Nemiroff]

Munin в сообщении #1021936 писал(а):

А почему ей не существовать, не понимаю?

Три точки не обязательно лежат на прямой или окружности. Они могут лежать на гиперцикле (эквидистанте) или орицикле. Вот если модель Пуанкаре в диске взять: Вот евклидовы прямые и окружности, которые пересекаются с нашим гиперболическим миром, ограниченным абсолютом (окружностью). Все прямые, содержащие диаметры абсолюта, и все окружности, пересекающие абсолют под прямым углом, дают все гиперболические прямые, все окружности, целиком лежащие внутри абсолюта, дают все гиперболические окружности, все окружности, пересекающие абсолют под углом, отличным от прямого, и все прямые, содержащие хорды абсолюта, отличные от диаметра, дают все гиперциклы, все окружности, внутренним образом касающиеся абсолюта, дают все орициклы.

TDnepr в сообщении #1021939 писал(а):

Наверное надо как-то по-другому начинать решать, но идей у меня пока нет

Можно прежде всего попытаться понять, когда вообще три точки лежат на окружностию

-- Вс май 31, 2015 20:53:05 --

TDnepr в сообщении #1021965 писал(а):

Радиус описанной окружности на евклидовой плоскости равен $\frac{abc}{4S}$ но я не знаю, останется он таким же в этом случае

Нет конечно. Я даже конечный ответ могу подсказать.

Вот так для евклидовой: пусть $A=a/2$, $B=b/2$, $C=c/2$,

$$R = \frac{2ABC}{\sqrt{(A+B+C)(B+C-A)(A+B-C)(A-B+C)}},$$

а в неевклидовой сюда навешивают шинусы, а на радиус даже и гиперболический тангенс.

[Munin]

TDnepr в сообщении #1021965 писал(а):

Радиус описанной окружности на евклидовой плоскости равен $\frac{abc}{4S}$

Вопрос не в формуле, а как её получить.

[TDnepr]

Nemiroff в сообщении #1021985 писал(а):

Нет конечно. Я даже конечный ответ могу подсказать.

Конечный ответ к задаче в плоскости Лобачевского?
Подскажите, пожалуйста)

[Nemiroff]

Я же подсказал.
Вы знаете, как доказывается формула $R = \frac{2ABC}{\sqrt{(A+B+C)(B+C-A)(A+B-C)(A-B+C)}}$ для евклидовой геометрии? Если нет, то узнайте, если да, то примените такое же доказательство к геометрии Лобачевского.
Ответ будет почти такой же, только на каждом множителе будет висеть шинус. А слева штангенс.

[TDnepr]

Nemiroff
Ааа понятно. Спасибо большое! Сейчас попробую разобраться.

-- 31.05.2015, 22:29 --

Nemiroff
Я разобрала вывод формулы, но там используется теорема синусов, которая в евклидовой геометрии содержит радиус описанной окружности, а в случае плоскости Лобачевского, я формулы с радиусом не знаю.