Дивергенция вектора g

[fronnya]

Не знаю, в какую ветку нужно писать это сообщение, решил для забавы вычислить дивергенцию вектора $\vec{g}$, т.е. вектора напряженности гравитационного поля, который можно определить следующим образом:

$$\vec{g}=\frac{\alpha}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}$$

где $\alpha=\gamma M$, чтобы много букв не таскать. $n$-ю компоненту вектора $\vec{g}$ запишем так (используя соглашение о суммировании)

$$g_n=\frac{\alpha}{(x^n)^2}\frac{x^n}{\sqrt{(x^n)^2}}=\alpha\frac{x^n}{(x^n)^{\frac32}}$$

Тогда

$$\operatorname{div}\vec{g}=\alpha\delta_{mn}\partial_m\frac{x^n}{(x^n)^{\frac32}}=\alpha\delta_{mn}\left[\frac{\delta_{mn}[(x^n)^2]^{\frac32}-3\sqrt{(x^n)^2}(x^n)^2\delta_{mn}}{[(x^n)^2]^3}\right]=-6\frac{\alpha}{r^3}$$

Результат мне непонятен. Может где-то ошибка? Говорят, если дивергенция отрицательна, то данная точка поля является стоком.. Вообще, в чем смысл этого результата?

[iifat]

fronnya в сообщении #1021754 писал(а):

используя соглашение о суммировании

Если имеется в виду тензорное соглашение, то оно распространяется на случаи парных верхних и нижних индексов. В вашей формуле как-то не заметил.

fronnya в сообщении #1021754 писал(а):

$\vec{g}=\frac{\alpha}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}$

Я правильно вас понял, ускорение падения направлено вдоль радиус-вектора? Так вот что тянет нас к звёздам!

[fronnya]

iifat в сообщении #1021755 писал(а):

Я правильно вас понял, ускорение падения направлено вдоль радиус-вектора? Так вот что тянет нас к звёздам!

Как я мог забыть... Если эту ошибку исправить, то все ок становится. Черт меня дернул в 4 утра дивергенцию считать.

-- 31.05.2015, 04:22 --

iifat в сообщении #1021755 писал(а):

fronnya в сообщении #1021754 писал(а):

используя соглашение о суммировании

Если имеется в виду тензорное соглашение, то оно распространяется на случаи парных верхних и нижних индексов. В вашей формуле как-то не заметил.

Т.е. представить модуль радиуса-вектора в виде $\sqrt{(x^n)^2}$- это не соглашение о суммировании? А если так $r=\sqrt{\delta_{mn}x^mx^n}$?

[iifat]

fronnya в сообщении #1021756 писал(а):

А если так $r=\sqrt{\delta_{mn}x^mx^n}$?

Наверное, да. Хотя я не очень-то свободно чувствую себя в тензорах и стараюсь не употреблять их без особой на то надобности. Смутно припоминаю, что, вроде как, $\delta_{mn}$ — не тензор, что, видимо, означает, что в других координатах компоненты его не будут вот так вот красиво выглядеть, в отличие от $\delta^m_n$

[fronnya]

iifat в сообщении #1021760 писал(а):

fronnya в сообщении #1021756 писал(а):

А если так $r=\sqrt{\delta_{mn}x^mx^n}$?

Наверное, да. Хотя я не очень-то свободно чувствую себя в тензорах и стараюсь не употреблять их без особой на то надобности. Смутно припоминаю, что, вроде как, $\delta_{mn}$ — не тензор, что, видимо, означает, что в других координатах компоненты его не будут вот так вот красиво выглядеть, в отличие от $\delta^m_n$

Ну да, вы правы, только наверное лучше $\delta_m^n$. А вообще-то, я так подумал, что в моем случае можно вообще все индексы внизу писать, ведь евклидово пространство и все такое. Я, кстати, ни разу не понял до сих пор, что значит ковариантный или контравариантный объект.

[DimaM]

Вот бы люди придумали способ дивергенцию в сферических координатах записать...

[fronnya]

DimaM в сообщении #1021795 писал(а):

Вот бы люди придумали способ дивергенцию в сферических координатах записать...

Это шутка? Дивергенцию можно записать в криволинейных ортогональных координатах, главное знать явную связь между декартовыми и криволинейными координатами. Или к чему Вы? Не понимаю.

[iifat]

Подозреваю, к тому, что в сферических координатах сферически симметричное поле, равно как и его дивергенция, должны бы выглядеть куда проще.

[DimaM]

fronnya в сообщении #1021805 писал(а):

Дивергенцию можно записать в криволинейных ортогональных координатах, главное знать явную связь между декартовыми и криволинейными координатами.

Угу. Причем в вашем случае записать в сферических координатах очень просто, там всего одна ненулевая компонента.

fronnya в сообщении #1021756 писал(а):

Т.е. представить модуль радиуса-вектора в виде $\sqrt{(x^n)^2}$- это не соглашение о суммировании?

Надо бы буковку для индекса другую, чтоб с числителем не путалась.

[fronnya]

iifat в сообщении #1021807 писал(а):

Подозреваю, к тому, что в сферических координатах сферически симметричное поле, равно как и его дивергенция, должны бы выглядеть куда проще.

да и пес с этими координатами, неужели я неправильно вычислил? Вопрос, кстати, который я задал в посте своем, остается пока что открытым ведь. Дивергенция поля больше нуля, а ротор равен нулю (я посчитал), какой тут смысл? Я не знаю, как наложить этот смысл на гравитационное поле.

-- 31.05.2015, 11:05 --

DimaM в сообщении #1021808 писал(а):

Надо бы буковку для индекса другую, чтоб с числителем не путалась.

А я напутал что-то ? Зачем там другую букву, если я беру n-ю компоненту вектора?

[Sicker]

fronnya
У вас должна получится трехмерная дельта-функция

[iifat]

Что-то я вообще перестал понимать. Попробуйте, пожалуйста, ещё раз, да поподробнее. У меня вот ноль получился (кроме центра). Вы, подозреваю, где-то там запутались с вашими тензорными обозначениями.

[Munin]

fronnya в сообщении #1021754 писал(а):

$n$-ю компоненту вектора $\vec{g}$ запишем так (используя соглашение о суммировании)

$$g_n=\frac{\alpha}{(x^n)^2}\frac{x^n}{\sqrt{(x^n)^2}}=\alpha\frac{x^n}{(x^n)^{\frac32}}$$

Для соглашения о суммировании:
- каждый индекс, по которому суммируют, записывается ровно два раза: $\begin{xy}*{(x^n)^2};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\to x_n x^n,$ или с использованием метрического тензора $g_{mn}x^m x^n$;
- все индексы (по крайней мере в пределах одного слагаемого), разные по смыслу, должны носить разные имена, поэтому

$$\begin{xy}*{\dfrac{\alpha}{(x^n)^2}\dfrac{x^n}{\sqrt{(x^n)^2}}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\to \dfrac{\alpha}{x_k x^k}\dfrac{x^n}{\sqrt{x_m x^m}}.$$

Вот теперь это уже можно показывать в приличном обществе (хотя и мельком).

-- 31.05.2015 14:36:43 --

fronnya в сообщении #1021809 писал(а):

да и пес с этими координатами, неужели я неправильно вычислил?

Неправильно. Попытайтесь в более простых обозначениях, зачем вам тензорные?

fronnya в сообщении #1021809 писал(а):

Дивергенция поля больше нуля, а ротор равен нулю (я посчитал), какой тут смысл? Я не знаю, как наложить этот смысл на гравитационное поле.

Должны получиться и дивергенция, и ротор нулевые.

[fronnya]

Зачем тензорные? Поупражняться хотел. Видимо, я вообще не в теме..

-- 31.05.2015, 14:51 --

Munin в сообщении #1021847 писал(а):

fronnya в сообщении #1021754 писал(а):

$n$-ю компоненту вектора $\vec{g}$ запишем так (используя соглашение о суммировании)

$$g_n=\frac{\alpha}{(x^n)^2}\frac{x^n}{\sqrt{(x^n)^2}}=\alpha\frac{x^n}{(x^n)^{\frac32}}$$

Для соглашения о суммировании:
- каждый индекс, по которому суммируют, записывается ровно два раза: $\begin{xy}*{(x^n)^2};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\to x_n x^n,$ или с использованием метрического тензора $g_{mn}x^m x^n$;
- все индексы (по крайней мере в пределах одного слагаемого), разные по смыслу, должны носить разные имена, поэтому

$$\begin{xy}*{\dfrac{\alpha}{(x^n)^2}\dfrac{x^n}{\sqrt{(x^n)^2}}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\to \dfrac{\alpha}{x_k x^k}\dfrac{x^n}{\sqrt{x_m x^m}}.$$

Вот теперь это уже можно показывать в приличном обществе (хотя и мельком).

А почему мельком ?

[Munin]

fronnya в сообщении #1021872 писал(а):

Зачем тензорные? Поупражняться хотел.

Тогда делаете так: пишете обычные вычисления (частные производные, как в учебнике матанализа), а потом рядом - тензорные, так чтобы одни другим соответствовали. Буква в букву. Тогда и результат получится правильный.

-- 31.05.2015 16:41:22 --

fronnya в сообщении #1021872 писал(а):

А почему мельком ?

Ну, через три вторых всё-таки красивее. И вообще, что, пошутить нельзя?