Интеграл

[withquestions]

Здравствуйте, возникла проблема с интегралом

$\int_0^{\infty}\frac{\sin(\xi x)}{\sh(\pi x)}$

сначала подумал через интегрирование по частям привести это к уравнению, но идея провалилась и на данный момент я вообще не представляю как его брать. Подскажите, в каком направлении стоит двигаться.

[Lia]

- Напишите дифференциал.
- Полностью сформулируйте задание.

[withquestions]

Нужно найти синус-преобразование Фурье функции $f(x)=\frac{1}{\sh(\pi x)}$:

$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty}\frac{\sin(\xi x)}{\sh(\pi x)}dx$

[Otta]

Ну не знаю. Ничего хорошего навскидку не вижу, кроме как разложить $1/\sh \pi x$ должным образом в ряд Тейлора, вытащить сумму за интеграл, обосновать сие действо, просуммировать что получится и добить результат Миттаг-Леффлером. Получается вполне прилично.

Очень даже возможно, можно и проще, но убей бог, не вижу как.

Может быть, естественнее даже воспользоваться Миттаг-Леффлером уже для самого $1/\sh \pi x$, вернее, не для него, а для откорректированного, чтобы не мешалась особенность в нуле, тоже вполне нормально получается.

[ex-math]

Можно еще попробовать через теорему Коши. Сдвинуть контур вверх на период или там полупериод.