Ряд

[zabelnyy]

Найти все значения параметра при которых ряд сходится (абсолютно, условно)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}}$
С абсолютной сходимостью все более менее понятно:
$\frac{1}{2}n^a<n^a-1<n^a+(-1)^{n-1}<n^a+1<2n^a$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}n^a$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 2n^a$ сходятся при $a>1$, значит и искомый ряд сходится.

С условной сходимостью все не очень понятно. Вроде стоит испозьзовать признак Дирихде, но что там с монотонностью не ясно

Проверьте, пожауйста, рассуждения для абсолютной сходимости и подскажите, что делать с условной

[Brukvalub]

zabelnyy в сообщении #1021330 писал(а):

С абсолютной сходимостью все более менее понятно:
$\frac{1}{2}n^a<n^a-1<n^a+(-1)^{n-1}<n^a+1<2n^a$

Вы уверены, что все неравенства - строгие?
Про условную сходимость: нужно доказать, что для сходимости параметр должен быть положительным и использовать первые члены формулы Тейлора.

[ewert]

zabelnyy в сообщении #1021330 писал(а):

Проверьте, пожауйста, рассуждения для абсолютной сходимости

Проверил: всё верно, не считая разгильдяйства в

zabelnyy в сообщении #1021330 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}n^a$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 2n^a$ сходятся при $a>1$

zabelnyy в сообщении #1021330 писал(а):

подскажите, что делать с условной

Сгруппируйте члены исходного ряда попарно.

[zabelnyy]

Попрано - это так?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-1}{n^a+1} + \sum\limits_{n=2k}^{\infty} \frac{1}{n^a-1} $

[ewert]

zabelnyy в сообщении #1021338 писал(а):

Попрано - это так?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-1}{n^a+1} + \sum\limits_{n=2k}^{\infty} \frac{1}{n^a-1} $

Примерно так, но буквально так -- это чересчур уж изысканно и заведёт в тупик. Просто объедините каждые следующие два слагаемых в одно -- и присмотритесь, что сумма этих двух слагаемых из себя представляет.

[zabelnyy]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-1}{n^a+1} +\frac{1}{(n+1)^a-1} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-(n+1)^a+n^a+2}{(n^a+1)((n+1)^a-1)} $
Такая сумма? Она знакопостоянна?

[ewert]

zabelnyy в сообщении #1021341 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-1}{n^a+1} +\frac{1}{(n+1)^a-1} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-(n+1)^a+n^a+2}{(n^a+1)((n+1)^a-1)} $
Такая сумма?

Нет, не такая. Как сумма может начинаться с"ка", когда в левой части никакого "ка" и нетути?...

Вы запутались в том, куда и когда надобно втыкать описание чётных/нечётных номеров.

[zabelnyy]

Так мне же в любом случае прийдется введсти какой-то дополнительный параметр k. По другому же никак не обозначить четность. А номера все должны быть нечетными, если объединять 2 слагаемых в одно

-- 30.05.2015, 01:52 --

Или так?
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}} = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-1}{n^a+1} +\frac{1}{(n+1)^a-1} = 1/2\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2a}-1} $

[provincialka]

zabelnyy
А вы просто не пишите знак суммы... А выпишите несколько слагаемых по-простому, через "плюс". Вам проще будет..

[ewert]

Ну а почему бы по рабоче-крестьянски не поразмыслить?...

Вот есть у нас первое слагаемое -- вычитаем второе. Потом есть третье -- вычитаем из него четвёртое. И т.д.

Каждое из прибавляемых слагаемых имеет одну чётность, из вычитаемых -- противоположную. Соответственно, первым следует приписать $n=2k$, вторым -- $n=2k+1$. Ну или наоборот, это уже не принципиально.

[zabelnyy]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^a+(-1)^{n-1}} = (\frac{-1}{1+1}+ \frac{1}{2^a-1})+ (\frac{-1}{3^a+1}+ \frac{1}{4^a-1})+...$$+ (\frac{-1}{n^a+1}+ \frac{1}{(n+1)^a-1})+... = \sum\limits_{n=2k-1}^{\infty} \frac{-(n+1)^a+n^a+2}{(n^a+1)((n+1)^a-1)} $$
При $k=1$ - получаю 1 пару
При $k=2$ - получаю 2 пару
---
При $k=n$ - получаю n пару

Цитата:

Каждое из прибавляемых слагаемых имеет одну чётность, из вычитаемых -- противоположную. Соответственно, первым следует приписать $n=2k$, вторым -- $n=2k+1$. Ну или наоборот, это уже не принципиально.

Я же так и делаю

[ewert]

zabelnyy в сообщении #1021362 писал(а):

Я же так и делаю

Нет, Вы до сих пор делаете категорически не так, а как -- бог весть. У Вас до сих пор нелепое "ка" в нижнем пределе, и ничего похожего на замену индекса суммирования -- внутри суммы. Это называется бред.

(Оффтоп)

Я начинаю сомневаться...

[provincialka]

zabelnyy в сообщении #1021362 писал(а):

При $k=n$ - получаю n пару

Хм... вот только в "первой", "второй" и т.д. парах первое слагаемое соответствует нечетному $n=2k-1$ а второе -- четному $n=2k$. Вот туда, внутрь, это $k$ и вставляйте!

[zabelnyy]

$\sum\limits_{k=2}^{\infty} (\frac{-1}{(k-1)^a+1}+ \frac{1}{k^a-1}) $
Так?

[bot]

ewert в сообщении #1021355 писал(а):

Ну а почему бы по рабоче-крестьянски не поразмыслить?...

provincialka в сообщении #1021354 писал(а):

А вы просто не пишите знак суммы... А выпишите несколько слагаемых по-простому, через "плюс".

Что бы ещё добавить?
Ага вот - выпишите первые два члена Вашей суммы и сравните с четырьмя первыми слагаемыми ряда.