уравнение третьей степени (x^3-2x^2-x+1=0)

[Мироника]

Как показать, что уравнение $ x^3-2x^2-x+1=0$ не имеет действительных корней?

[AD]

Мироника писал(а):

Как показать, что уравнение $ x^3-2x^2-x+1=0$ не имеет действительных корней?

А как вообще кубическое уравнение может не иметь действительных корней? Оно же вправо стремится к $+\infty$, а влево - к $-\infty$, значит, должно через ноль пройти.

[Мироника]

прошу прощения. рациональных

[Brukvalub]

Числитель рац. корня мн-на с целыми коэф-тами делит его свободный член, а знаменатель - старший коэф-т.

[Мироника]

Brukvalub писал(а):

Числитель рац. корня мн-на с целыми коэф-тами делит его свободный член, а знаменатель - старший коэф-т.

Это при условии, что рац. корни есть?

[незваный гость]

Мироника писал(а):

Это при условии, что рац. корни есть?

разумеется. Это — необходимое условие.

[Brukvalub]

Да. Исходя из указанной мной теоремы, Вы можете теперь перебрать все рац. числа, которые могут быть корнями ур-ния, подставить каждое из них в ур-ние и убедиться, что рац. корней нет

[Мироника]

да, я поняла. спасибо. а как вообще решить это уравнение?

[Gordmit]

Мироника писал(а):

да, я поняла. спасибо. а как вообще решить это уравнение?

Привести его к виду $x^3+px+q=0$ и применить формулу Кардано.

[Алексей К.]

Здесь поболтали на предмет этой формулы. bot дал краткую инструкцию, дальше ссылочка какая-то есть.
А вот статья из Википедии.

[Мироника]

Получается вообще караул ужас
и это учитывая, что я решаю характеристическое уравнение, чтобы найти собственные числа матрицы.
Может где ошибка?
Вот матрица $ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right) $
вот характеристическое уравнение $ x^3-2x^2-x+1=0$
заменой $x=y+\frac {2} {3}$
получаю уравнение $y^3- \frac {7} {3} y - \frac {7} {27}=0$
и по формуле для $ x $ из Википедии получаю такой караул

Что делать?

[AD]

Матрица симметричная, значит, все три собственных значения вещественны, значит, в формуле Кардано будет под корнем отрицательное число Вроде всё правильно ...

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

Ну, по крайней мере, если нет рационального корня - значит, красивого ответа ожидать бесполезно ...

[Someone]

Мироника писал(а):

да, я поняла. спасибо. а как вообще решить это уравнение?

Для уравнения $y^3+py+q=0$ с дискриминантом $D=\left(\frac p3\right)^3+\left(\frac q2\right)^2\leqslant 0$ можно применить тригонометрическую подстановку $y=2\sqrt{-\frac p3}\cos\varphi$. В результате получается уравнение $\frac{2p}3\sqrt{-\frac p3}(4\cos^3\varphi-3\cos\varphi)=q$, то есть, $\frac{2p}3\sqrt{-\frac p3}\cos 3\varphi=q$. Находим $\varphi$, а потом три корня: $y_1=2\sqrt{-\frac p3}\cos\varphi$, $y_2=2\sqrt{-\frac p3}\cos\left(\varphi+\frac{2\pi}3\right)$, $y_3=2\sqrt{-\frac p3}\cos\left(\varphi+\frac{4\pi}3\right)$.

[Мироника]

AD писал(а):

значит, в формуле Кардано будет под корнем отрицательное число

но не такое же?!
ну приведу к виду
а как подставлять то, чтобы собственные векторы найти?
И должно же ведь три собственных значения быть?

[Someone]

А матрица правильная? Может быть, там в правом нижнем углу была единица?