Цепочка подпространств

[ivvan]

Рассматриваются линейно упорядоченные по включению множества подпространств линейного пространства $L$. Будет ли мощность любого максимального такого множества равна (алгебраической) размерности пространства $L$?
Для вполне упорядоченных множеств, вроде бы, это верно.

[Oleg Zubelevich]

ivvan в сообщении #1021269 писал(а):

линейно упорядоченные

ivvan в сообщении #1021269 писал(а):

вполне упорядоченных

pardon, за наверное групый вопрос, а в чем разница?

[arseniiv]

Например, целые числа (с естественным порядком) линейно упорядочены, но не вполне упорядочены. Вполне упорядоченность требует ещё и наличие наименьшего элемента в любом непустом подмножестве.

[olenellus]

(Оффтоп)

Думаю, что Oleg Zubelevich имел в виду данный конкретный случай. Он не похож на человека, не знающего разницы между линейным и полным порядком.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А-а-а. Я почему-то подумал, что вполне упорядоченные сравниваются с линейными пространствами.

[g______d]

ivvan в сообщении #1021269 писал(а):

Будет ли мощность любого максимального такого множества равна (алгебраической) размерности пространства $L$?

Возьмите любое пространство со счетным базисом Гамеля (они все изоморфны), пронумеруйте рациональными числами и рассмотрите цепочку подпространств, являщихся линейными оболочками интервалов $(-\infty,a]\cap\mathbb Q$, где $a\in \mathbb R$. Проще говоря, дедекиндовы сечения. Там будет континуум подпространств.

[ivvan]

g______d в сообщении #1021401 писал(а):

Возьмите любое пространство со счетным базисом Гамеля (они все изоморфны), пронумеруйте рациональными числами и рассмотрите цепочку подпространств, являщихся линейными оболочками интервалов $(-\infty,a]\cap\mathbb Q$, где $a\in \mathbb R$.

Чтобы получить максимальную цепочку, нужно добавить оболочку векторов из $(-\infty,a)\cap\mathbb Q$, я правильно понимаю?

[g______d]

Да, такие тоже надо добавить.

[ivvan]

Возьмём по вектору из всех непустых множеств $U_\alpha\setminus\bigcup_{U_\beta\subset U_\alpha}U_\beta$. Полученная система линейно независима. Будет ли она составлять базис?

[ivvan]

ivvan в сообщении #1021978 писал(а):

Будет ли она составлять базис?

Не знаю, как разрешить этот вопрос. Стоит ли задать его на StackExchange?

[g______d]

ivvan в сообщении #1021978 писал(а):

Будет ли она составлять базис?

Опять, возьмем пространство со счетным базисом Гамеля $\{e_n\}_{n\in \mathbb Z}$, и пусть $U_n$ — линейная оболочка $\{e_k\}_{k\le n}$. В качестве векторов возьмем $e_n+e_{n-1}\in U_n\setminus U_{n-1}$. Будет ли это набор векторов базисом? Мне кажется, что нет.

[ivvan]

Да, всё верно. А я уже поспешил задать вопрос в другом месте.
g______d, я могу попробовать перевести ваш ответ и опубликовать? Как можно сослаться? Или вы сами напишете?

[g______d]

ivvan в сообщении #1023996 писал(а):

я могу попробовать перевести ваш ответ и опубликовать? Как можно сослаться?

Можете просто написать "на форуме dxdy.ru было предложено такое-то решение".

[ivvan]

Рассмотрим для линейного пространства $L$ с базисом $\{e_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{R}}$ цепочку $\dots\subset L_{n-1}\subset L_n\subset L_{n+1}\subset\dots$, где $L_n=\operatorname{Sp}(\{e_\alpha\}_{\alpha<n+1}\cup\{e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n-1}\alpha^ke_{[\alpha]-k}\}_{\alpha>n+1,\alpha\notin\mathbb{Z}})$.
Если $v=\sum v_{\alpha_i} e_{\alpha_i}\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{Z}}L_n$, то $v_{m-k}=\sum\limits_{\alpha_i\notin\mathbb{Z}}\alpha_i^{[\alpha_i]-m+k} v_{\alpha_i}=0, k\in\mathbb{N}$, где $m=\min\{[\alpha_i]\}$. Полученные уравнения составляют систему относительно $v_{\alpha_i},\alpha_i\notin\mathbb{Z}$, не имеющую ненулевого решения. Поэтому $v=\sum v_{n_j}e_{n_j}, n_j\in\mathbb{Z}$. Но т.к. $v\in L_{m-1}$, то и $v_{n_j}=0$. Таким образом, $\bigcap L_n={0}$.
Равенство $\bigcup L_n=L$ очевидно.
Если $L_{n-1}\subset M\subseteq L_n$, то для произвольного $v\in M\setminus L_{n-1}$ будет $v=\sum\limits_\alpha v_\alpha e_\alpha$, где $v_k=\sum\limits_{\alpha>k,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-k}v_\alpha, k>n$ и $v_n\neq\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha$, и тогда

$$e_n=(v_n-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha)^{-1}(v-\sum\limits_{\alpha<n}v_\alpha e_\alpha-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}v_\alpha(e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n}\alpha^ke_{[\alpha]-k}))\in M,$$

откуда $L_n\subseteq M$.
Таким образом, расссмотренная цепочка максимальна, причем $|\{L_n\setminus L_{n-1}\}|\neq \operatorname{dim}L$.

Верны ли рассуждения выше?