2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 20:43 
Вычислить интеграл \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(bx)}{{a}^{4}+{x}^{4}}dx
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 20:49 
А в курсе какой дисциплины Вы встретили данный интеграл? Не ТФКП, случаем?

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 20:58 
Нет, это математический анализ, 2 курс

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение28.05.2015, 21:02 
Аватара пользователя
Попробуйте дифференцировать пока не придет озарение. :D

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 19:21 
Аватара пользователя
demolishka
По $b$? По-моему, ничего путного не выходит.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 19:34 
Аватара пользователя
ex-math в сообщении #1021192 писал(а):
demolishka
По $b$? По-моему, ничего путного не выходит.
Лучше сначала заменить $t=x^2$, потом продифференцировать по $b$ два раза - получится дифур.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 19:53 
Аватара пользователя
Brukvalub
Что-то у меня не срастается дифур. Надо ведь получившиееся лишнее $t$ куда-то всунуть. То ли я в упор чего-то не вижу...

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 19:55 
Аватара пользователя
ex-math в сообщении #1021211 писал(а):
Brukvalub
Что-то у меня не срастается дифур. Надо ведь получившиееся лишнее $t$ куда-то всунуть. То ли я в упор чего-то не вижу...
Напишите ваши попытки "срастить дифур".

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:02 
Аватара пользователя
Если исходный интеграл $J(b)$, то
$$
J''(b)=-\int_0^\infty\frac{x^2\cos bx}{a^4+x^4}dx.
$$
Что будем с $x^2$ делать? Замена в данном случае дает лишь переобозначение, ничего не меняя по сути.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:29 
Аватара пользователя
ex-math, Вы правы, я погорячился. нашел в своих выкладках ошибку. :oops:

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:37 
Аватара пользователя
Ну короче это такая же штука, как с квадратом, только с четвёртой степенью. Надо либо дифференцировать много раз (но это уже смахивает на издевательство), либо через ТФКП.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:50 
Аватара пользователя
ИСН
В случае с квадратами там не простое дифференцирование в лоб, а еще интеграл Дирихле добавляют, иначе второй раз не продифференцируется. Здесь наверно тоже что-то похожее пройдет.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение29.05.2015, 20:52 
Аватара пользователя
Если воспользоваться разложением
$\frac{2x^2}{1+x^4}=\frac{1}{1+x^2-\sqrt2x}+\frac{1}{1+x^2+\sqrt2x}- \frac{2}{1+x^4}$
то все-таки получается дифур, линейный, однородный, второго порядка и с правой частью в виде квазимногочлена. :D

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group