Вычислить интеграл

[Alinchik_007]

Вычислить интеграл \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(bx)}{{a}^{4}+{x}^{4}}dx
Ни к каким известным интегралам свести не удалось!

[Strannik]

А в курсе какой дисциплины Вы встретили данный интеграл? Не ТФКП, случаем?

[Alinchik_007]

Нет, это математический анализ, 2 курс

[demolishka]

Попробуйте дифференцировать пока не придет озарение.

[ex-math]

demolishka
По $b$? По-моему, ничего путного не выходит.

[Brukvalub]

ex-math в сообщении #1021192 писал(а):

demolishka
По $b$? По-моему, ничего путного не выходит.

Лучше сначала заменить $t=x^2$, потом продифференцировать по $b$ два раза - получится дифур.

[ex-math]

Brukvalub
Что-то у меня не срастается дифур. Надо ведь получившиееся лишнее $t$ куда-то всунуть. То ли я в упор чего-то не вижу...

[Brukvalub]

ex-math в сообщении #1021211 писал(а):

Brukvalub
Что-то у меня не срастается дифур. Надо ведь получившиееся лишнее $t$ куда-то всунуть. То ли я в упор чего-то не вижу...

Напишите ваши попытки "срастить дифур".

[ex-math]

Если исходный интеграл $J(b)$, то

$$ J''(b)=-\int_0^\infty\frac{x^2\cos bx}{a^4+x^4}dx. $$

Что будем с $x^2$ делать? Замена в данном случае дает лишь переобозначение, ничего не меняя по сути.

[Brukvalub]

ex-math, Вы правы, я погорячился. нашел в своих выкладках ошибку.

[ИСН]

Ну короче это такая же штука, как с квадратом, только с четвёртой степенью. Надо либо дифференцировать много раз (но это уже смахивает на издевательство), либо через ТФКП.

[ex-math]

ИСН
В случае с квадратами там не простое дифференцирование в лоб, а еще интеграл Дирихле добавляют, иначе второй раз не продифференцируется. Здесь наверно тоже что-то похожее пройдет.

[Brukvalub]

Если воспользоваться разложением
$\frac{2x^2}{1+x^4}=\frac{1}{1+x^2-\sqrt2x}+\frac{1}{1+x^2+\sqrt2x}- \frac{2}{1+x^4}$
то все-таки получается дифур, линейный, однородный, второго порядка и с правой частью в виде квазимногочлена.