задачи с украинской олимпиады

citadeldimon · 16/02/06 222 Украина

Привет всем. Вот следующие задачи:
1. Диагонали равнобочной трапеции ABCD пересекаются в точке Р. Доведите, что центр ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника ABP.
2. Решыть уравнение $\sin(\sin(x)+x^2+1)+(\sin(x)+x^2+1)^2=x-1.$
3. На координатной плоскости изобразить множество точек, которые удовлетворяют неравенству $\log_{2|x|+2|y|+2} (x^2+y^2)\le 1.$

Юстас · 01/12/05 458

citadeldimon писал(а):

1. Диагонали равнобочной трапеции ABCD пересекаются в точке Р. Доведите, что центр ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника ABP.

Пусть $O$ - центр описанной около трапеции окружности. Тогда $\triangle AOC$ равнобедренный, следовательно $\angle OAC=\angle ACO$ , а $\angle ACO=\angle OBD$ - из симметрии трапеции. Отсюда следует $\angle PBC+\angle PAB=\angle OBA+\angle OAB$ , и следовательно $\angle BPA=\angle BOA$ , то есть точки $A,B,P,O$ лежат на одной окружности.

Добавлено спустя 7 минут 5 секунд:

citadeldimon писал(а):

2. Решить уравнение $\sin(\sin(x)+x^2+1)+(\sin(x)+x^2+1)^2=x-1.$

Так как $\sin(t)\geq -1$ , то левая часть уравнения ограничена снизу $x^4-1$ , а так как
$x^4-1>x-1, \ |x|>1$ , то $|x|\leq 1$ . Далее, при $|x|\leq 1$ $0< \sin(x)+x^2+1\leq 3$ , то есть $\sin\left(\sin(x)+x^2+1\right)> 0$ , и $\sin(\sin(x)+x^2+1)+(\sin(x)+x^2+1)^2> 0$ , тогда $x-1> 0\longrightarrow \ x>1$ - противоречие, корней нет.

незваный гость · 17/10/05 3709

citadeldimon писал(а):

2. Решыть уравнение $\sin(\sin(x)+x^2+1)+(\sin(x)+x^2+1)^2=x-1.$

Пусть $f(x) = \sin(x)+x^2+1$ . Тогда нам надо решить уравнение $f(f(x))=x$ . Мы докажем, что $f(x) > x$ , откуда всё понятно.

$\sin(x) + x^2 + 1 > x \Leftrightarrow$ $x^2-x > -1 - \sin(x)$ . Правая часть неположительна. Левая часть строго больше 0 всюду, кроме отрезка $[0, 1]$ . Но на $[0,\pi]$ правая часть не больше $-1$ .

Юстас · 01/12/05 458

citadeldimon писал(а):

3. На координатной плоскости изобразить множество точек, которые удовлетворяют неравенству $\log_{2|x|+2|x|+2} (x^2+y^2)\le 1.$

В первой координатной четверти область, ограниченная осями и криволинейным треугольником с вершинами $(0, \frac{1+\sqrt{3}}{2}),\ (\frac{1+\sqrt{3}}{2},0), \ (1+\sqrt{2},1+\sqrt{2})$ . Симметрично в остальных четвертях. Только вот олимпиадного здесь по-моему мало.

незваный гость · 17/10/05 3709

citadeldimon писал(а):

$\log_{2|x|+2|x|+2} (x^2+y^2)\le 1.$

Очепятка? $\log_{2|x|+2|y|+2} (x^2+y^2)\le 1$ ?

Юстас · 01/12/05 458

Видимо, я тоже с $2(|x|+|y|+2)$ решал.

citadeldimon · 16/02/06 222 Украина

Спасибо за решения, в третьем нет опечатки. $\log_{2|x|+2|y|+2} (x^2+y^2)\le 1.$ - правильно.
Оно просто решается (извиняйте за немного тривиальные задачи, посмотрел на них поздно ночью - не видел решения, а утром как прояснение). Значит, решение:
$2|x|+2|y|+2>2, (x,y)\ne(0,0). \log_{2|x|+2|y|+2} (x^2+y^2)\le 1 \Leftrightarrow x^2+y^2\le 2|x|+2|y|+2 \Leftrightarrow (|x|-1)^2+(|y|-1)^2 \le 4.$
Вышел цветок с 4ма лепестками с выколотым центром.
Добавляю еще пару задач:
1.Пусть m - натуральное число. Найти все такие натуральные числа x, y, z такие, что равность $mx^n+2008y^n=z^{n+1}$ справедлива для всех натуральных $n>2007$ .
5. Доказать, что положительное решение уравнения
$x(x+1)(x+2)...(x+2007)(x+2008)=1$ меньше за $\frac 1{2008!}$ .