Уравнение Лежандра

[Darts501]

Помогите разобраться. Дано уравнение Лежнадра:

$$(1-x^2)\frac{d^2f(x)}{dx^2}-2x\frac{df(x)}{dx}+(n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2})f(x)=0$$

Нужно найти решение при $x\in(1,+\infty)$, параметр, вообще говоря, $n\in\mathbf{C}$, но в моем случае определяется, как решение уравнения $n(n+1)=\lambda, \lambda\in\mathbf{R}$ и $m=0,1,2,\dots$. У этого уравнения есть общее решение, записывающееся через гипергеометрическую функцию. Но в некоторых частных случаях эту запись можно сильно упростить. Я почитал первый том монографии Бэйтмена , вторую часть Уиттикера, Ватсона Курс современного анализа и этого случая не нашел. Правда в Уиттикере, Ватсоне рассматривают похожий случай $-1<x<1$, так как он очень часто встречается в приложениях. Там решением уравнения Лежандра являются присоединенные функции Лежандра $P_n^m(x),Q_n^m(x)$, которые определяются:

$$P_n^m(x)=(1-x^2)^{\frac12m}\frac{d^mP_n(x)}{dz^m}, Q_n^m(x)=(1-x^2)^{\frac12m}\frac{d^mQ_n(x)}{dz^m}$$

где $P_n(x),Q_n(x)$ - функции Лежандра 1-го и 2-го рода соответственно. Они являются основными решения уравнения:

$$(1-x^2)\frac{d^2f(x)}{dx^2}-2x\frac{df(x)}{dx}+n(n+1)f(x)=0$$

и определяются через формулы:

$$P_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{(z^2-1)^n}{2^n(z-x)^{n+1}}\,dz, Q_n(x)=\frac{1}{4i\sin(n\pi) }\int_D \frac{(z^2-1)^n}{2^n(z-x)^{n+1}}\,dz$$

где $C$-контур на комплексной плоскости, без самопересечений и содержит точки $1,x$, но не содержит точку 1, ориентирован он против часовой стрелки; а $D$-контур на комплексной плоскости в виде горизонтальной восьмерки, в первом круге содержится точка -1, а во втором - точка 1, но точка $x$ не содержится в ней(точку самопересечения можно поднять или опустить, так чтобы $x\in(-1,1)$, но не лежала бы в восьмерке) если движение начать с самой правой точки, то надо двигаться вниз. Так вот является ли так определенное решение решением и для моей задачи?

[svv]

Darts501 в сообщении #1020718 писал(а):

$$P_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{(z^2-1)^n}{2^n(z-x)^{n+1}}\,dz, Q_n(x)=\frac{1}{4i\sin(n\pi) }\int_D \frac{(z^2-1)^n}{2^n(z-x)^{n+1}}\,dz$$

Хорошо, но у Вас $n$ нецелое (в этом случае его принято обозначать $\nu$). При этом точки $z=\pm 1$ становятся точками ветвления подинтегральной функции. Как это обходится? Контур $D$ у Вас такой, что как ни проведи разрез, контур его зацепит.

Darts501 в сообщении #1020718 писал(а):

содержит точки $1,x$, но не содержит точку 1,

Вы имели в виду, содержит $-1$ и $x$ ?

-- Чт май 28, 2015 15:58:38 --

Darts501 в сообщении #1020718 писал(а):

Я почитал первый том монографии Бэйтмена , вторую часть Уиттикера, Ватсона Курс современного анализа и этого случая не нашел.

Посмотрите ещё раз у Бейтмена в первом томе параграф 3.7 Интегральные представления, там, по-моему, есть на любой вкус.

[Darts501]

Когда функции $P_n(x),Q_n(x)$ определяются через интегралы, то $n$ может быть любым комплексным. У подинтегральной функции три особенности : точки -1,1,x; они позволяют выбирать контуры так, чтобы подинтегральая функция при прохождении контура в конце принимала свое начальное значение(как раз из-за того, что это точки ветвления), контур $D$ я неправильно определил, контур $A$ содержит точки 1,х но не содержит точку -1. Вообще у этого уравнения размерность пространства решений равна 2, поэтому находят два решения, отношение которых не является константой, они то и образуют базис пространства решения. Определить эти решения можно по разному, но если они определены, то любая их линейная комбинация тоже является решением. Тогда для моей задачи из всех этих линейных комбинаций нужно выбрать те решения, у которых нет особенности в точке 1, в других конечных точках луча $(1,+\infty)$ особенностей нет. Еще ясно что, в том виде, в каком я записал решения, не найти нужные линейные комбинации, надо что мудрить, только не понятно что. Наверное эти функции можно записать в другом, более подходящем виде, в моем или более общем случае.