Инвариантность Ляпуновской экспоненты?

[Royal_KTH]

Всем доброго дня!
Описание немного длинное, но суть проблемы на самом деле простая.

Рассмотрим n-мерную динамическую систему:
$\dot{x}$ $=$ $f(x)$, $(1)$
и как минимум дважды непрерывно дифференцируемое и обращаемое координатное преобразование $y=T(x)$, обращающее исходную динамическую систему в новую:
$\dot{y}$ $=$ $g(y)$, $(2)$
так что: $g(y)=D_xT(T^-^1(y))\cdot f(T^-^1(y))$, $(3)$
где $D_x$ - матрица первых производных по х и $T^-^1$ - обратное преобразование координат, т.е. $x=T^-^1(y)$.

Решения систем $(1)$ и $(2)$ обозначим как $\varphi(t;x_0)$ и $\psi(t;y_0)$ соответственно.

Ляпуновская экспонента системы $(1)$ определена по отношению к некоторой референтной траектории $\varphi_r = \varphi(t;x_r)$ как:
$\lambda_x_r(\xi_0) = \lim\limits_{t\to\infty}{\frac{1}{t}ln\left\lVert \xi(t;\xi_0) \right\rVert}$, $(4)$
где $\xi(t;\xi_0)$ это решение линеаризованной системы:
$\dot{\xi} = D_xf(\varphi_r)\xi$, $\qquad(5)$
для начального условия $\xi_0$.

Аналогично, Ляпуновская экспонента преобразованной системы $(2)$:
$\mu_y_r(\eta_0) = \lim\limits_{t\to\infty}{\frac{1}{t}ln\left\lVert \eta(t;\eta_0) \right\rVert}$, $(6)$
где $\xi(t;\xi_0)$ это решение линеаризованной системы:
$\dot{\eta} = D_yg(\psi_r)\eta$, $(7)$
для начального условия $\eta_0$ и референтной траектории $\psi_r = \psi(t;y_r)$.

Рассматривая некоторую ограниченную референтную траекторию $\varphi_r$ исходной системы нам нужно показать, что:
$\mu_T_(_x_r_) (L(\xi_0)) = \lambda_x_r (\xi_0)$, $(8)$
для преобразованной референтной траектории $\psi(t;T(x_r)) = T(\varphi(t;x_r))$ и соответствующего преобразования $L$ между линеаризованными системами (5) и (7), которое мы и должны определить.

Вопросы:

1) Почему соотношение: $ \mu_T_(_x_r_) (\eta_0) = \lambda_x_r (\xi_0) $
несправедливо в общем случае для произвольных $\eta_0$ и $\xi_0$, когда они не связаны никаким преобразованием $L$ ?

2) Как показать что преобразованная референтная траектория $\psi_r$ данная как $\psi(t;T(x_r)) = T(\varphi(t;x_r))$ ограничена если $\varphi_r$ тоже ограничена?

3) Как обосновать что преобразование $L$ между линеаризованными системами $(5)$ и $(7)$ $\eta = L(\xi)$ может быть записано в виде $\eta = L\cdot\xi$, где $L$ это зависящая от времени матрица размера $n \times n$. Показать что $L$ удовлетворяет диф. уравнению:
$\dot{L} = D_y g(\psi_r)\cdot L - L\cdot D_x f(\varphi_r)$, $(9)$

4) Как вывести соотношение:
$D_y g(\psi_r)\cdot D_x T(\varphi_r) = \frac{d}{dt} D_x T(\varphi_r) + D_x T(\varphi_r) \cdot D_x f(\varphi_r)$,
показав таким образом, что $L = D_x g(\varphi_r)$, сравнив его с выражением $(9)$?

(Есть предположение, что нужно начать с вывода $D_y g(\psi_r)$ Пользуясь $(3)$, а затем применить $D_y T^-^1 (y) = (D_x T)^-^1 (T^-^1(y))$ (доказательство?) приняв, что обращение $(D_x T)^-^1$ существует.)

5) Как показать что:
$\left\lVert L(\xi)\right\rVert = \left\lVert L\cdot \xi \right\rVert \leqslant L^+ \left\lVert \xi \right\rVert$
и
$\left\lVert L(\xi)\right\rVert = \left\lVert L\cdot \xi \right\rVert \geqslant L^- \left\lVert \xi \right\rVert$
где $L^-$ и $L^+$ - не зависящие от времени константы, и применить эти соотношения для доказательства $(8)$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в качестве дискуссионной темы по физике все это выглядит несколько странно.

[Oleg Zubelevich]

Демидович Лекции по математической теории устойчивости