2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение матричного уравнения $e^A=e^B$.
Сообщение27.05.2015, 22:35 


16/12/13
39
Надо решить уравнение $e^A=e^B$, где А и В нильпотентные матрицы с комплексными элементами. Матрица В фиксированная. Без ограничения общности можно считать, что она уже в жордановой нормальной форме.

Сначала я решил $e^X=E$. Выписав жорданову форму Х и применяя формулу для экспоненты получил, что Х полупростая(диагонализуемая) с собственными значениями вида $2\pi ik, k\in \mathbb Z$.

Далее если $AB=BA$, то домножая на $e^{-B}$ приходим к выводу, что А=В.

Для некоммутативного случая пытался доказать следующий факт(не знаю верен он или нет). $U$ A-инвариантно тогда и только тогда, когда $U e^A$-инвариантно.

Если это верно, то получается, что А верхненильтреугольная. Далее прямыми вычислениями можно показать, что А=В.

Вообщем, жду от Вас каких-либо идей, возможно принципиально других. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение матричного уравнения $e^A=e^B$.
Сообщение28.05.2015, 08:21 
Заслуженный участник


22/11/10
1177
Покажите, что $e^A$ суть некий полином от матрицы $e^A = P(A)$. После этого покажите, что $A$ суть некий полином от экспоненты $A = Q(e^A)$. И эти полиномы не зависят от матрицы $A$. Для примера рассмотрите матрицы $2 \times 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение матричного уравнения $e^A=e^B$.
Сообщение28.05.2015, 17:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Вообще-то формальным решением уравнения $e^A=C$ является $A=\operatorname{Ln}C$. Матричный логарифм -- штука, конечно, неоднозначная, однако произвол сводится лишь к добавкам $i\cdot2\pi k$ в диагональных элементах его жордановой формы. Так что среди его возможных значений может быть лишь одно нильпотентное (если оно вообще есть).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group