Решение матричного уравнения $e^A=e^B$.

[bahad]

Надо решить уравнение $e^A=e^B$, где А и В нильпотентные матрицы с комплексными элементами. Матрица В фиксированная. Без ограничения общности можно считать, что она уже в жордановой нормальной форме.

Сначала я решил $e^X=E$. Выписав жорданову форму Х и применяя формулу для экспоненты получил, что Х полупростая(диагонализуемая) с собственными значениями вида $2\pi ik, k\in \mathbb Z$.

Далее если $AB=BA$, то домножая на $e^{-B}$ приходим к выводу, что А=В.

Для некоммутативного случая пытался доказать следующий факт(не знаю верен он или нет). $U$ A-инвариантно тогда и только тогда, когда $U e^A$-инвариантно.

Если это верно, то получается, что А верхненильтреугольная. Далее прямыми вычислениями можно показать, что А=В.

Вообщем, жду от Вас каких-либо идей, возможно принципиально других. Заранее спасибо.

[sup]

Покажите, что $e^A$ суть некий полином от матрицы $e^A = P(A)$. После этого покажите, что $A$ суть некий полином от экспоненты $A = Q(e^A)$. И эти полиномы не зависят от матрицы $A$. Для примера рассмотрите матрицы $2 \times 2$.

[ewert]

Вообще-то формальным решением уравнения $e^A=C$ является $A=\operatorname{Ln}C$. Матричный логарифм -- штука, конечно, неоднозначная, однако произвол сводится лишь к добавкам $i\cdot2\pi k$ в диагональных элементах его жордановой формы. Так что среди его возможных значений может быть лишь одно нильпотентное (если оно вообще есть).