2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение08.02.2015, 15:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Перед второй скобкой минус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение28.05.2015, 10:56 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Итак, $a=1853^2,b=4380^2,c=4427^2$ - длины сторон геронова треугольника.
Задача: найдите рациональное $R\ne{0}$ такое, что числа $aR+1, bR+1, cR+1$ - квадраты рациональных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение03.08.2018, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
grisania в сообщении #975394 писал(а):
Пример выше показывает, что диофантово уравнение (1) имеет хотя бы одно положительное решение. Наверно должны быть ещё положительные решения? Это одно положительное решение какое-то несуразное.
здесь кто-то писал(а):
As of April 4, 2018, I am pleased to announce that a careful exhaustive search by me has discovered the second unique primitive Heron triangle with square sides,

[ a, b, c, area ] = $[11789^2 , 68104^2 , 68595^2 , 284239560530875680]$

This Heron triangle was found after several months of using a GMP/C++ parallel search program running on a 12-cluster of Intel Corei7 x990 cpus running at 3.47Ghz. The first triangle found by Stanica et al was quickly located by the program upon start up, but over 27K hours of compute time passed before the second triangle was found.

It is now conjectured that more such primitive Heron triangles with square sides exist, but they seem difficult to locate.
Процесс идёт :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение04.08.2018, 22:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Кто бы сомневался. Будут и другие трудные решения. Причина - неинвариантность (в некотором смысле) решений. Это вам не проблема Штейнгауза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение05.08.2018, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Удивительная связь.
Пусть существует совершенный кубоид с целыми сторонами $a,b,c$. Тогда

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 a^2  + b^2  = d_{ab} ^2  \\ 
  \\ 
 b^2  + c^2  = d_{bc} ^2  \\ 
  \\ 
 c^2  + a^2  = d_{ca} ^2  \\ 
  \\ 
 a^2  + b^2  + c^2  = d_{abc} ^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]
$

Получаем систему

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 d_{ab} ^2  + d_{bc} ^2  + d_{ca} ^2  = 2\left( {a^2  + b^2  + c^2 } \right) \\
\\ 
 d_{ab} ^2  + d_{bc} ^2  - d_{ca} ^2  = 2b^2  \\ 
\\
 d_{ab} ^2  - d_{bc} ^2  + d_{ca} ^2  = 2a^2  \\
\\ 
  - d_{ab} ^2  + d_{bc} ^2  + d_{ca} ^2  = 2c^2  \\ 
\\
 \end{array} \right.
\]$

Площадь треугольника составленного из квадратов величин диагоналей по формуле Герона

$$\[
S = \sqrt {\left( {\frac{{d_{ab} ^2  + d_{bc} ^2  + d_{ca} ^2 }}{2}} \right)\left( {\frac{{d_{ab} ^2  + d_{bc} ^2  - d_{ca} ^2 }}{2}} \right)\left( {\frac{{d_{ab} ^2  - d_{bc} ^2  + d_{ca} ^2 }}{2}} \right)\left( {\frac{{ - d_{ab} ^2  + d_{bc} ^2  + d_{ca} ^2 }}{2}} \right)}  = d_{abc} bac
\]$

Следовательно:
Треугольник составленный из квадратов величин диагоналей совершенного кубоида является Героновым :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение05.08.2018, 15:14 


21/05/16
4292
Аделаида
Коровьев в сообщении #1330732 писал(а):
Треугольник составленный из квадратов величин диагоналей совершенного кубоида является Героновым :shock:

Это открывалось кучу раз и многие из них на этом форуме (post1081114.html#p1081114). К сожалению, обратное утверждение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение05.08.2018, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Зато легко решается подобная задача с радикалами. Например треугольник со сторонами $\sqrt{26},\sqrt{10},\sqrt{20}$ имеет целую площадь $s=7$.
В общем виде $a=\sqrt{2k^2n^2+2l^2(m+n)^2},b=\sqrt{2k^2n^2+2l^2(m-n)^2},c=\sqrt{4l^2m^2+4n^2(k-l)^2},$ $s=(kn)^2+(lm)^2-(ln)^2$, хотя есть еще вариант с одной заведомо целой стороной и двумя радикалами. Это связано, конечно, с уравнением $x^2+y^2+z^2=t^2$, которое имеет общее решение. Могут возникать пропорциональные тройки, но значения под радикалами при сокращении должны оставаться четными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение06.08.2018, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1330816 писал(а):
... должны оставаться четными.

p.s. это неверно. Просто коэффициентом пропорциональности надо брать $K=\gcd (a^2,b^2,c^2,s)$.
При $k=18,l=10,m=18,n=5$ получаем $K=2000$ и $A=\sqrt{61},B=\sqrt{25},C=\sqrt{68},S=19.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение06.08.2018, 06:31 


21/05/16
4292
Аделаида
Проверил: из второго тр-ка кубоидов не выходит :-(

-- 06 авг 2018, 13:04 --

Из первого тоже :-(

-- 06 авг 2018, 13:25 --

Запустил программу перебора героновых тр-ков. По моим расчетам, будет работать 300 лет :-)

-- 06 авг 2018, 13:25 --

Запустил программу перебора героновых тр-ков. По моим расчетам, будет работать 300 лет :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение06.08.2018, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург

(Оффтоп)

Ещё о радикалах. Задача нахождения треугольника заданной площади $s$ со сторонами-радикалами $(a,b,c)$ сводится к факторизации значения $(4s)^2+n^2=d_1d_2$ (множители одночётные, $n$ - свободная переменная): $a,b=\dfrac {d_1+d_2\pm 2n}{4},c=d.$ То, что $a,b$ - числа вида $p^2+q^2$ отсюда напрямую не следует, зато следует неограниченное кл-во решений для заданного $s$. Приведу несколько решений для $s=1$:
$\sqrt{2},\sqrt{10},\sqrt{20};\ \sqrt{5},\sqrt{17},\sqrt{40};...\ 8,13,41;\ 10,20,58;\ 13,20,65;\ 17,37,104;\ 29,40,137...$ и т.д. В отдельную тему не выношу, поскольку добавить тут нечего кроме, пожалуй, следующего. По мере увеличения длин сторон треугольники с единичной площадью всё более походят на вырожденный. Задачу нахождения такого тр-ка по заданной стороне $\sqrt{m}$ ($m$ - нечетное вида $p^2+q^2$) можно выразить так: $\sqrt{m}\approx \sqrt{x}+\sqrt{y}$, но лучшее верхнее приближение соответствует $s(\sqrt{m},\sqrt{x},\sqrt{y})=\frac{1}{2}:\ x,y\approx \dfrac{(m\pm n)^2}{4m}$, где нечетное $n$ удовлетворяет сравнению $n^2\equiv -4 \mod m$. Лучшее нижнее приближение для нечетного составного $m$ соответствует поиску сторон "впуклого" треугольника с площадью $s(\sqrt{m},\sqrt{x},\sqrt{y})=\frac{\sqrt{-1}}{4}:\ x,y\approx \dfrac{(m\pm n)^2}{4m},$ где четное $n$ удовлетворяет сравнению $n^2\equiv 1 \mod m$, что равносильно факторизации $m$: $x-y=n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение07.08.2018, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #496893 писал(а):
Или уж напрямую решать в натуральных числах уравнение $(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2-z^2)(x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)=16S^2... $

Если не ошибаюсь, уравнение сводится к системе в рациональных числах $\left\{\begin{matrix}
X^2+Y^2=Z^4 \\ 
X^2+(Y-1)^2=T^4
\end{matrix}\right. \Rightarrow Z=\dfrac{x}{z};T=\dfrac{y}{z}.$
Или же я ломлюсь в открытые двери.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение30.08.2018, 22:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
grizzly, спасибо за наводку. Добавил в OEIS последовательность A318575.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение24.07.2022, 12:57 


05/02/07
271
Существуют пары треугольников Герона со сторонами-квадратами с равными периметром и площадью
Пример:
$661^2, 1498^2, 1515^2$ и $921^2, 1310^2, 1553^2$
Второй пример:
$71297^2, 77895^2, 97154^2$ и $67005^2, 81926^2, 96893^2$
В статье
https://projecteuclid.org/journals/functiones-et-approximatio-commentarii-mathematici/volume-66/issue-2/Pairs-of-equiperimeter-and-equiareal-triangles-whose-sides-are-perfect/10.7169/facm/1985.short
или
https://arxiv.org/abs/2104.06270
доказано, что таких пар треугольников Герона существует бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник Герона со сторонами-квадратами
Сообщение29.07.2022, 12:00 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
grisania в сообщении #1560939 писал(а):
Существуют пары треугольников Герона со сторонами-квадратами с равными периметром и площадью

Здесь лишним является слово "Герона". Предъявленные треугольники не Героновы.
grisania в сообщении #1560939 писал(а):
доказано, что таких пар треугольников Герона существует бесконечно много.

Здесь так же лишним является слово "Герона".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group