периодические решения

[Oleg Zubelevich]

На плоскости зафиксированы два жестких проволочных контура эллиптической формы, параметры эллипсов и их расположение друг относительно друга известны.
По каждому из контуров скользят без трения маленькие шарики масс $m,M$.Шарики соединины невесомой пружиной жесткости $k$. В расслабленном состоянии длина пружины равна нулю. Сила тяжести отсутствует.

Доказать, что для любых неотрицательных целых чисел $n_m,n_M$ система имеет периодическое решение при котором за период шар $m$ делает $n_m$ полных оборотов по своему кнтуру, а шар $M$ делает $n_M$ полных оборотов.

[Oleg Zubelevich]

странно такая простая задача, для фанатов ЛЛ-1 в особенности

[mihiv]

Облегчим себе жизнь. Возьмем вместо эллипсов окружности радиусов $a$ и $b$, будем также считать, что центры окружностей совпадают. Для этой системы функция Лагранжа равна:

$$L=\dfrac {ma^2}2\dot \varphi _1^2+\dfrac {Mb^2}2\dot \varphi _2^2+kab\cos (\varphi _1-\varphi _2)$$

Здесь $\varphi _1,\varphi _2$- полярные углы шариков масс $m$ и $M$. Уравнения движения имеют вид:

$$\begin {cases}ma^2\ddot \varphi =-kab\sin (\varphi _1-\varphi _2)\\Mb^2\ddot \varphi _2=kab\sin (\varphi _1-\varphi _2)\end {cases}$$

Сложим эти уравнения и после интегрирования получим

$$ma^2\varphi _1+Mb^2\varphi _2=c_1t+c_2\qquad (1)$$

где $c_1,c_2$- постоянные интегрирования. Если поделить уравнения системы на коэффициенты при производных и вычесть, то получим

$$\ddot \Phi=-k\left (\dfrac b{am}+\dfrac a{bM}\right )\sin \Phi \qquad (2)$$

где $\Phi =\varphi _1-\varphi _2$. Теперь осталось показать, что выбором начальных условий можно получить из уравнений (1),(2) нужное периодическое решение.

[mihiv]

Продолжим решение. Выберем $\varphi _1(0)=\varphi _2(0)=0\qquad (3)$. При этом получим в (1) $c_2=0$.
Уравнение (2) имеет первый интеграл:

$$\dot \Phi ^2(t)=\dot \Phi ^2(0)+R(\cos \Phi -1)\qquad (4)$$

где $R=k\left (\dfracb{am}+\dfrac a{bM}\right )$. Зададим начальные условия так, что $\dot \Phi^2(0)>2R$, тогда $\dot \Phi ^2(t)$ строго $>0$ и, следовательно, $\Phi (t)$ - монотонная функция (примем для определенности, что она возрастает). Из (4) найдем промежуток времени за который $\Phi (t)$ возрастает на $2\pi $.Он равен:

$$T=\int \limits _0^{2\pi }\dfrac {d\Phi }{\sqrt {\dot \Phi ^2(0)-2R\sin ^2(\dfrac {\Phi }2)}}$$

В момент $t_0$, когда шарики совершат, соответственно, $n_m$ и $n_M$ полных оборотов $\Phi (t_0)=2\pi (n_m-n_M)$,следовательно, $t_0=(n_m-n_M)T$. С другой стороны, согласно уравнению (1), в этот момент должно быть: $ma^22\pi n_m+Mb^22\pi n_M=c_1t_0\qquad (5)$.
Из условия (5) определяем постоянную $c_1$. По $c_1$ и $\dot \Phi ^2(0)$, находим требуемые начальные значения угловых скоростей $\dot \varphi _1(0),\dot \varphi _2(0)$.

[Oleg Zubelevich]

Конфигурационным пространством данной системы очевидно является двумерный тор. В каждом гомотопическом классе замкнутых нестягиваемых в точку кривых на торе найдется геодезическая метрики Якоби. Надо только константу интеграла энергии выбрать достаточно большой, чтобы метрика Якоби была гладкой и определена на всем торе. Это , собственно, все.