У меня есть следующая задачка:
a) Пусть
--- гильбертово пространство,
--- унитарный оператор. Для вектора
, мы предполагаем, что
предположим, что
и
для всех
.
Докажите, что для любой последовательности
сильно сходится в
(т.е. сходится последовательность его частичных сумм от
до
), и мы имеем оценку вида
с некоторыми постоянными
, не зависящим от
.
б) Проверьте, что для достаточно больших
оценки из предыдущего пункта будут выполнены для системы функций
, однако эта система не будет ортогональной"
Я попробовал взять эту сумму и скалярно перемножить с
, но это оказалось не совсем то, что нужно.
Я посмотрел на то, сходится ли это слабо?
Получается, что слабо сходится. Сильно, это значит по норме. Но по норме, как-то не очень понятно как действовать.
. А что делать с этой суммой непонятно.
Еще я знаю, что такое матрица Грама. Ну это когда есть какая-то система векторов в пространстве, которая порождает какое-то подпространство. Так вот, матрица Грама, это матрицы элементы которой есть попарно скалярно перемноженные элементы этой системы. Она вылазит из задачи, что если вот в этом подпространстве у меня есть какой-то элемент, и я знаю, чему равны скалярные произведения этого элемента с каждым элементом из системы, хочу найти его разложение.Эта задача однозначно разрешима, тогда и только тогда, когда элементы системы векторов лин. независимы.
Так вот, моя сумма, очень похожа на это разложение, а элементы
это система векторов.
Каким образом это можно применить к моей задаче?
Какие еще умные слова нужно знать? Спасибо за то, что прочитали мою задачу и за помощь.