Прямое и обратное преобразования Фурье

[MestnyBomzh]

На семинаре нам сказали, что верно равенство:
$F^{-1} [ \psi_1 \cdot \psi_2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} F^{-1} * \psi_1 F^{-1} \psi_2$
Однако сегодня в интернете обнаружил, что также верно:
$F [ \psi_1 \cdot \psi_2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} F \psi_1 * F \psi_2$
Отсюда возникает вопрос: если известно, что $F \varphi = \psi$, то верно ли: $F \psi = \varphi$? Я думал, что нет, что верно: $F^{-1} \psi = \varphi$, однако в вышеприведенный пример заставил меня усомниться

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1019605 писал(а):

Отсюда возникает вопрос: если известно, что $F \varphi = \psi$, то верно ли: $F \psi = \varphi$? Я думал, что нет, что верно: $F^{-1} \psi = \varphi$

Разве вам на лекциях не говорили, что есть достаточные условия обратимости преобразования Фурье, например, условие Дини? (речь идет об "обычном" преобразовании Фурье в пространстве $L^1(R)$, а не об обобщенных функциях!)

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #1019605 писал(а):

Однако сегодня в интернете обнаружил, что также верно:
$F [ \psi_1 \cdot \psi_2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} F \psi_1 * F \psi_2$
Отсюда возникает вопрос: если известно, что $F \varphi = \psi$, то верно ли: $F \psi = \varphi$?

Дело даже не в том, что неверно, а в том, что этот вопрос из тех свёрток никак не вытекает. Просто прямое и обратное преобразования Фурье действуют очень похоже и, соответственно, некоторые свойства у них одинаковы.

-- Вт май 26, 2015 00:35:04 --

Хотя сам по себе вопрос далеко не бессмыслен, просто его надо правильно ставить: для каких функций это утверждение верно?... Ответ вполне компактен, т.к. квадрат преобразования Фурье -- это некая комбинация неких ортопроекторов.

[MestnyBomzh]

Нам дали формулу обращения ПФ. Про признак не говорили. Ну да ладно.
Спасибо за ответы.
У меня еще такой вопрос по прямому ПФ для синуса: $F [\sin {ax}] = \frac{\sqrt{2\pi}}{2i}(\delta(\xi-a)-\delta(\xi+a))$. Я пытаюсь это доказать:
Возьмем обратное преобразование Фурье от левой и правой части: $\sin {ax} = \frac{1}{2i}( \delta_{-a} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x} d \xi - \delta_{a} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x} d \xi)$ = (e^{-aix}-e^{aix}) \cdot \frac{1}{2i}
Знак не согласуется. Подскажите, что неверно делаю

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #1019638 писал(а):

$ \delta_{-a} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x} d \xi$

А это ещё что за зверь такой?... Попытайтесь изобразить его по-человечески -- тогда, скорее всего, все вопросы отпадут.

[MestnyBomzh]

Хорошо, сейчас попробую.
Как я понимаю этот зверь (видимо, неверно):
$ \delta_{-a} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x} d \xi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta_{-a} [e^{i \xi x}] d \xi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i a x} d \xi $ Тут получается расходящийся интеграл. Но, как я тут заметил, нужно воспользоваться определением функционала, верно?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #1019654 писал(а):

А последнее равно $e^{i a x}$, поскольку это есть определение функционала?

Ну если вас учили говорить именно на этом языке -- тогда да, конечно. Но тогда чем Вы недовольны?

[MestnyBomzh]

Просто у меня записано определение такое: $\varphi \to \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi \cdot f(x) dx$. А тут у нас интеграл не совсем такой

[ewert]

Я не об этом спрашивал, а о том, что такое "$\delta_{-a}$". У вас, скорее всего, полагалось, что запись $\int e^{i\xi x}\delta(\xi-a)\,d\xi$ непристойна, и в обществе благородных девиц вместо неё следует потреблять $ \delta_{-a} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x} d \xi$ для пущей воспитанности. Что, кстати, ещё менее пристойно; однако суть-то от этого не меняется.

[MestnyBomzh]

Да нет, это я сам. мне так как-то удобнее казалось. Но не суть.

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i\xi x}\delta(\xi-a)\,d\xi = e^{ixa}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ixy}\delta(y)\,d y$$

. И это должно быть равно $e^{ixa}$. То есть, интеграл равен единице. Почему это так?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #1019681 писал(а):

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i\xi x}\delta(\xi-a)\,d\xi = e^{ixa}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ixy}\delta(y)\,d y$$

С какой стати-то?... $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i\xi x}\delta(\xi-a)\,d\xi = e^{ixa}$ тупо по определению дельта-функции.

[MestnyBomzh]

а, действительно. прямо по определению.. чего-то я не заметил. Спасибо!

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #1019681 писал(а):

мне так как-то удобнее казалось.

Напрасно (если я правильно понял) показалось, кстати. Применять функционал к интегралу -- бессмысленно, он сам по себе (по происхождению) интеграл.

[MestnyBomzh]

ewert
Можно тогда еще вопрос из этой же области.
Как вычислить, например, $F(\frac{1}{x-2i})$? Или, более общий, $F(\frac{1}{ax-bi})$?
Нам показывали, как вычислять обратное преобразование (там легко), а вот с прямым всё несколько хуже. Не могли бы Вы подсказать?

[Munin]

MestnyBomzh в сообщении #1019605 писал(а):

Отсюда возникает вопрос: если известно, что $F \varphi = \psi$, то верно ли: $F \psi = \varphi$?

Почти. Прямое и обратное преобразования Фурье действительно совпадают с точностью до коэффициента и ещё какой-то мелочи. По крайней мере, $F^4=1.$