[кванты] Оператор

[tinatin]

Доброго времени суток!
подскажите, как это дело можно упростить, пол дня голову ломаю..:
$\psi , \phi $-- некоторые числа.

$exp(-\phi \hat{a})+ exp(\phi \hat{a} + \psi \hat{a}^{+})+ exp(-\psi \hat{a}^{+})$

Где $\hat{a}, \hat{a}^{+}$ - операторы рождения/смерти. т.е

$[\hat{a},\hat{a}^{+}]=1$

Раскрыть экспоненту в середине нельзя, т.к операторы рождения/смерти не комутируют.
Надо либо угадать на что можно умножить(причем так, чтобы степени комутировали -- только тогда можно выполнять привычные действия), либо раскрывать в виде рядов и долго-долго смотреть.. :(
Либо раскладывать оператор по проекторам (при этом надо знать собственные значения операторов..)

Не пинайте, только приступил к изучению квантов :)

-- 25.05.2015, 21:33 --

Чудом наткнулся на неравенство Велля (позволяет перегнать в произведение, экспоненту по середине!)
Ответ $I*e^{-1/2}$

[fizeg]

Во-первых, упростить для чего? Для разных целей упрощать лучше по-разному.
Во-вторых, как вы получили такой ответ? Т.е. я согласен только с тем, что $e^{-1/2}$ фигурировать будет

Для того, чтобы экспоненту суммы операторов в произведение экспонент превратить есть формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа (Baker-Campbell-Hausdorf) В данном случае все коммутаторы коммутаторов равны нулю, так что ряд она дает конечный.

P/S: Ну его нафиг "уничтожение". Операторы рождения-смерти, как романтично

[Cos(x-pi/2)]

Галицкий, Карнаков, Коган "Задачи по квантовой механике" (1992 г.) - в задаче 1.10 выведена формула:

Если коммутатор $[\hat A, \hat B] = c$ является числом, то
$e^{\hat A + \hat B}=e^{\hat A} e^{\hat B}e^{-c/2}$

Тогда применительно ко второй экспоненте ТС получаем:
$e^{\phi \hat a + \psi \hat a^+}=e^{\phi \hat a} e^{\psi \hat a^+}e^{-\phi \psi /2}$

Теперь если в задачке ТС вместо знаков суммирования трех экспонент поставить знаки их перемножения, то получится ответ $ e^{-\phi \psi /2},$ а иначе такого ответа не получится.)